OEIS?:http://oeis.org/

近段时间在研究解析数论,进一步感觉数论真是个奇妙的东西,通过它,似乎数学的各个方面——离散的和连续的,实数的和复数的,甚至物理的——都联系了起来。由此也不难体会到当初高斯(Gauss)会说“数学是科学的皇后,数论是数学的皇后。”了。今天,由于在研究素数的个数的上下界问题时,需要思考组合数
$$C_{n}^{2n}=\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!\ n!}$$
最多能被2的多少次方整除。直觉告诉我,次数应该是随着$n$的增大而增大的,但事实却不是,比如$C_{15}^{30}$能够被16整除,但是$C_{20}^{40}$却最多只能被4整除,有种毫无规律的感觉,于是到群里问问各大神。其中,wayne提出

这个可以写个小程序算出一些数据,再在oeis上搜搜

按照他的建议,写出下面的python代码

import math

def cout2(n):
  s=0
  while n%2==0:
    s=s+1
    n=n//2
  return s

for n in range(1,100):
  m=math.factorial(2*n)//math.factorial(n)//math.factorial(n)
  print(cout2(m),end=', ')

输出结果

1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3,

直接把这串数字放到OEIS上搜索,得到
http://oeis.org/A000120

原来这数列早已经有人研究过了,而且OEIS?早已经收录了。原来数列的每一项恰好等于number of 1's in binary expansion of n (也就是十进制的n对应的二进制表达式中,1的个数)。数列的项总的趋势是随着$n$的增大而增大的,但是局部不一定遵循着规律。把数列在每个1的地方截断,得到一系列有限的小数列,可以发现这些小数列的规律相对明显一些(位数固定的二进制数从小到大排列,统计1的个数)。上面还罗列了该数列的一些性质、参考链接等等。不能不说OEIS?实在太强大了!印象中很早之前就参考过上面的资料,但是现在才知道它的强大之处了。下面是它在维基百科上的介绍:

OEIS?,全称The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences? ,中文可以译为“整数数列线上大全”,它是一个网上可搜索的整数数列数据库。它是数学上的重要资源,因每篇文章里都记录了一个整数数列的首几个项、关键字和链结等。截至2009年6月,OEIS已经有超过160,000个数列。

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