从这个系列的第一篇文章到本文,已经隔了好多天。其实本文的内容是跟第一篇的内容同时完成的,为什么这么久才更新呢?原因有二,其一是随着春天的到来人也开始懒起来了,颓废呀~;其二,我在思考着规范变换的问题。按照朗道《场论》的逻辑,发展完质点力学理论后,下一步就是发展场论,诸如电磁场、引力场等。但是场论中有个让我比较困惑的东西,即场论存在着“规范不变性”。按照一般观点,我们是将规范不变性看作是电磁场方程的一个结果,即推导出电磁场的方程后,“发现”它具有规范不变性。但是如果用本文的方法,即假定场有这种对称性,然后就可以构建出场方程了。可是,为什么场存在着规范不变性,我还未能思考清楚。据我阅读到的资料来看,这个不变性似乎跟广义不变性有关(电磁场也是,这似乎说明即使在平直时空的电磁场理论中也暗示了广义不变性?)。还有,似乎这个不变性需要在量子场论中才能得到比较满意的解释,可是这样的话,就离我还很远了。

好吧,我们还是先回到相对论力学的推导中。

“无”中生有

上一篇文章我们已经构建了相对论力学的无穷小生成元,并进行了延拓。我已经说过,仅需要无穷小的变换形式,就可以构建出完成的相对论力学定律出来(当然这需要一些比较“显然”的假设)。这是个几乎从“无”到有的过程,也是本文标题的含义所在。另一方面,这种从局部到整体的可能性,也给我们带来一些启示:假如方法是普适的,那么可以由此构造出我们需要的物理定律来,包括电磁场、引力场方程等。(当然,我离这个目标还有点远。)

再次提到上一文中的生成元
$$X^{(2)}=\frac{x}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}+t\frac{\partial}{\partial x}+\left(1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}\right)\frac{\partial}{\partial \dot{x}}-\frac{3\dot{x}\ddot{x}}{c^2}\frac{\partial}{\partial \ddot{x}}$$

牛顿力学的运动定律是
$$m\ddot{x}=f$$
可是这个方程是不满足相对论的,因为
$$X^{(2)}(m\ddot{x})=-\frac{3m\dot{x}\ddot{x}}{c^2}\neq 0$$
为了满足狭义相对论的要求,我们必须要对该定律进行修改。右端的力属于物理客体,我们自然是改不了的。我们需要更改方程的左边。为了使得方程满足更多的对称性(这指的是满足时空的平移不变性),我们设想方程的左边只含有$x$的导数项,那么设正确的方程是
$$F(\dot{x},\ddot{x})=f$$
我们还有一个假设,在低速时$F(\dot{x},\ddot{x})\to m\ddot{x}$,毕竟,牛顿力学定律是经过大量的低速考验的

这样子就必须有
$$X^{(2)} F(\dot{x},\ddot{x})=0$$
也就是
$$X^{(2)} F=\left(1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}\right)\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}-\frac{3\dot{x}\ddot{x}}{c^2}\frac{\partial F}{\partial \ddot{x}}=0$$
这是简单的齐次线性偏微分方程,它的求解可以参考相关的偏微分方程理论。我们先解特征方程
$$\frac{d\dot{x}}{1-\dot{x}^2/c^2}=-\frac{d\ddot{x}}{3\dot{x}\ddot{x}/c^2}$$
得到通解(要注意,我们做延拓,就是为了让$\dot{x}$和$\ddot{x}$分开处理,所以这里$\dot{x}$和$\ddot{x}$是两个独立的变量)
$$\frac{m\ddot{x}}{|1-\dot{x}^2/c^2|^{3/2}}=Const.$$
于是上述偏微分方程的通解为(取类时解)
$$F=F\left(\frac{m\ddot{x}}{(1-\dot{x}^2/c^2)^{3/2}}\right)=F\left(\frac{dp}{dt}\right)$$
其中
$$p=\frac{m\dot{x}}{\sqrt{1-\dot{x}^2/c^2}}$$
相对论动量的形式出来了。

如果只是从满足狭义相对论的角度来讲,任何诸如
$$F\left(\frac{dp}{dt}\right)=f$$
的定律都是可以接受的。但是我们还需要考虑两点:

1、能够解释物理现象,这简单体现为低速退化为牛顿定律;
2、在满足第一点的情况下,物理定律应当尽可能简洁。

所以我们最简单地取
$$F\left(\frac{dp}{dt}\right)=\frac{dp}{dt}$$
于是得到了教科书上的相对论力学定律
$$\frac{dp}{dt}=f$$

当然,从我们目前的角度来看,这只是可能的物理定律之一,它的正确性有待实验检测。当然,事实是该定律已经得到了大量的事实考验。

前方的路?

那么我们下一步的工作是什么呢?我们已经完成了力学定律的推导。下一步可能的工作有两个:第一,由于我们的推导是基于二维时空这种简单情况的,所以很容易产生将其推广到一般的四维时空的想法。但是我们认为,二维上的工作已经让我们领略到了这种思想的要点,推广到四维并没有本质上和技巧上的难度,只是繁复的数学演算而已。另外一个可能的、也更有意义的工作是将我们的“成果”变分化。按照费曼的思想,他认为不满足某个变分原理的定律“极有可能”是错误的

因此,在下一篇文章中,我们着重于理解变分原理的对称性,也就是说,我们将要寻找在某个变换下保持不变的作用量!这是相当有趣和有用的,它和方程的对称性类似,但又有些不同。顺便需要提及的是:用变分原理描述还有一个好处,就是我们通常的“运动方程”都是含有变量对时间的二阶导数,这意味着大多数情况下,作用量只含有一阶导数(引力场是个例外),某种程度上,这也是对我们推导的一种简化。


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