在上一篇文章中,我们得到了一维弹簧运动的方程
$$m\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}=k\frac{\partial^2 X}{\partial \xi^2}$$
并且得到了通解
$$X=F(u)+H(v)=F(\xi+\beta t)+H(\xi-\beta t)$$
或者
$$X(\xi,t)=\frac{1}{2}\left[X_0(\xi+\beta t)+X_0(\xi-\beta t)\right]+\frac{1}{2\beta}\int_{\xi-\beta t}^{\xi+\beta t} X_1 (s)ds$$
在文章的末尾,提到过这个解是有些问题的。现在让我们来详细分析它。

弹指神通
让我们用一个例子来演示一下上面的解,不妨设初始状态为
$$\xi=\left\{\begin{array}{} 0,x <0\\ \sin x,x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\ 1 ,x > 0\end{array}\right.$$
反解得
$$x=\arcsin \xi$$
代入通解表达式
$$X(\xi,t)=\frac{1}{2}[\arcsin(\xi+\beta t)+\arcsin(\xi-\beta t)]$$
一切看起来都没有问题,但是上述解确实有不当之处的。注意,$\xi$的取值是0到1,比如我们考虑$\xi=1,t>0$,那么$\xi+\beta t>1$,此时$\arcsin(\xi+\beta t)$就不是实数了!可是好端端一个通解,怎么会出现这样的情况呢?

原因在于,当我们用对$\xi$的积分代替了求和时候,实际上使用了一个隐藏的假设:连续性!

也就是说,我们假设初始状态$x_i$位于$x_{i+1}$的左边,经过一段时间运动之后,$x_i$还是位于$x_{i+1}$的左边。这不一定成立,比如我们只考虑两个物体的弹簧,初始状态如下

弹簧演示.png

其中$x_1$一端绷紧,而$x_2$一端被拉开,只要$x_2$到$x_1$的距离足够长,也就是远远超过了原长,那么释放之后,$x_1$向右运动,$x_2$向左运动,而我们的假设之中它们都是质点,没有碰撞这一概念,而且在我们的方程之中,两个质点只是被一个与距离平方成正比的势能联系着,并不是由一根具体的弹簧拉扯着,所以可以使得$x_2$在左边,$x_1$在右边,并且两者在一段时间内越来越远。这样子就破坏了连续性假设。在无限多个质点的情况也是类似的。

于是,总的来说,我们得到的“通解”,实际上只适合描写$0<\xi+\beta t<1,0<\xi-\beta t<1$这个区域内的运动。超出了这个区域,也就需要修改了。至于怎么修改,我也还在思考当中。


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