开学已经是第二周了,我的《微分几何》也上课两周了,进度比较慢,现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\boldsymbol{t}(t)=(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。
$$\boldsymbol{t}=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$
其中$ds^2 =dx^2+dy^2$,将这个向量逆时针旋转90度之后,就可以定义相应的单位法向量$\boldsymbol{n}$,即$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0$。

常规写法

让我们用弧长$s$作为参数来描述曲线方程,$\boldsymbol{t}(s)=(x(s),y(s))$,函数上的一点表示对$s$求导。那么我们来考虑$\dot{\boldsymbol{t}}$,由于$\boldsymbol{t}^2=1$,对s求导得到
$$\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{t}}=0$$
也就是说$\dot{\boldsymbol{t}}$与$\boldsymbol{t}$垂直,由于只是在平面上,所以$\dot{\boldsymbol{t}}$与$\boldsymbol{n}$平行。即
$$\dot{\boldsymbol{t}}=\kappa \boldsymbol{n}$$

类似地,有$\dot{\boldsymbol{n}}$与$\boldsymbol{t}$平行。并且对$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0$求导得到
$$\dot{\boldsymbol{t}}\cdot\boldsymbol{n}+\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{n}}=0$$
将$\dot{\boldsymbol{t}}=\kappa \boldsymbol{n}$代入上式得到
$$\dot{\boldsymbol{n}}=-\kappa \boldsymbol{t}$$
$\kappa$被称为曲线在该点的曲率。

复数表示

以上是教科书的标准写法,但事实上,研究平面曲线的最方便的工具还是复数。将$\boldsymbol{r}(s)$用一个带参数的复数表示$z(s)$,那么上面的两式可以写成更简洁的一个式子
$$\ddot{z}(s)=i\kappa (s) \dot{z}(s) $$

这样写的好处还在于,任意给出曲率函数$\kappa (s) $,我们就可以求出对应的曲线
$$z(s)=\int e^{i\int \kappa (s)ds}ds $$
这是简洁而有效的。

另外,不妨设$dz=ds e^{i\phi}$,那么
$$\dot{z}=e^{i\phi}$$
自然地
$$\ddot{z}=e^{i\phi}\left(i\dot{\phi}\right)$$
所以曲率可以表示为
$$\kappa=\dot{\phi}$$

各种坐标

利用它可以很方便地推导出各种坐标系下的曲率表达式,如曲线为一般的参数方程$(x(t),y(t))$时,用函数加一撇表示对t求导,有$ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt,\phi=\arctan\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)$,那么
$$\frac{d\phi}{ds}=\frac{\frac{y''(t)}{x'(t)}-\frac{y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^2}}{1+\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)^2}\div \left(\frac{ds}{dt}\right)$$
代入整理易得
$$\kappa=\frac{y''(t) x'(t)-x''(t) y'(t)}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}$$

在极坐标下,设$r=f(\theta)$,则$z=f(\theta)e^{i\theta}$,那么
$$dz=\left(\frac{d f}{d \theta}+i f\right)e^{i\theta}d\theta$$
所以
$$ds=\sqrt{f^2+\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}d\theta$$
而$\phi=\arctan\frac{f}{\left(\frac{d f}{d \theta}\right)}+\theta$,那么
$$\frac{d\phi}{ds}=\left[\frac{1-\left(\frac{d^2 f}{d \theta^2}\right) f/\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}{1+f^2/\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}+1\right]\div \left(\frac{d s}{d \theta}\right)$$
代入整理得
$$\kappa=\frac{2\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2+f^2-\left(\frac{d^2 f}{d \theta^2}\right)f}{\left[\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2+f^2\right]^{3/2}}$$
三维空间有没有类似方便的东西呢?我也正在思考^_^

转载到请包括本文地址:https://kexue.fm/archives/2403

更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!

如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (Mar. 04, 2014). 《平面曲线的曲率的复数表示 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/2403

@online{kexuefm-2403,
        title={平面曲线的曲率的复数表示},
        author={苏剑林},
        year={2014},
        month={Mar},
        url={\url{https://kexue.fm/archives/2403}},
}