开学已经是第二周了,我的《微分几何》也上课两周了,进度比较慢,现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\mathbf{t}(t)=(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。
$$\mathbf{t}=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$
其中$ds^2 =dx^2+dy^2$,将这个向量逆时针旋转90度之后,就可以定义相应的单位法向量$\mathbf{n}$,即$\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0$。

常规写法

让我们用弧长$s$作为参数来描述曲线方程,$\mathbf{t}(s)=(x(s),y(s))$,函数上的一点表示对$s$求导。那么我们来考虑$\dot{\mathbf{t}}$,由于$\mathbf{t}^2=1$,对s求导得到
$$\mathbf{t}\cdot\dot{\mathbf{t}}=0$$
也就是说$\dot{\mathbf{t}}$与$\mathbf{t}$垂直,由于只是在平面上,所以$\dot{\mathbf{t}}$与$\mathbf{n}$平行。即
$$\dot{\mathbf{t}}=\kappa \mathbf{n}$$

类似地,有$\dot{\mathbf{n}}$与$\mathbf{t}$平行。并且对$\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0$求导得到
$$\dot{\mathbf{t}}\cdot\mathbf{n}+\mathbf{t}\cdot\dot{\mathbf{n}}=0$$
将$\dot{\mathbf{t}}=\kappa \mathbf{n}$代入上式得到
$$\dot{\mathbf{n}}=-\kappa \mathbf{t}$$
$\kappa$被称为曲线在该点的曲率。

复数表示

以上是教科书的标准写法,但事实上,研究平面曲线的最方便的工具还是复数。将$\mathbf{r}(s)$用一个带参数的复数表示$z(s)$,那么上面的两式可以写成更简洁的一个式子
$$\ddot{z}(s)=i\kappa (s) \dot{z}(s) $$

这样写的好处还在于,任意给出曲率函数$\kappa (s) $,我们就可以求出对应的曲线
$$z(s)=\int e^{i\int \kappa (s)ds}ds $$
这是简洁而有效的。

另外,不妨设$dz=ds e^{i\phi}$,那么
$$\dot{z}=e^{i\phi}$$
自然地
$$\ddot{z}=e^{i\phi}\left(i\dot{\phi}\right)$$
所以曲率可以表示为
$$\kappa=\dot{\phi}$$

各种坐标

利用它可以很方便地推导出各种坐标系下的曲率表达式,如曲线为一般的参数方程$(x(t),y(t))$时,用函数加一撇表示对t求导,有$ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt,\phi=\arctan\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)$,那么
$$\frac{d\phi}{ds}=\frac{\frac{y''(t)}{x'(t)}-\frac{y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^2}}{1+\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)^2}\div \left(\frac{ds}{dt}\right)$$
代入整理易得
$$\kappa=\frac{y''(t) x'(t)-x''(t) y'(t)}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}$$

在极坐标下,设$r=f(\theta)$,则$z=f(\theta)e^{i\theta}$,那么
$$dz=\left(\frac{d f}{d \theta}+i f\right)e^{i\theta}d\theta$$
所以
$$ds=\sqrt{f^2+\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}d\theta$$
而$\phi=\arctan\frac{f}{\left(\frac{d f}{d \theta}\right)}+\theta$,那么
$$\frac{d\phi}{ds}=\left[\frac{1-\left(\frac{d^2 f}{d \theta^2}\right) f/\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}{1+f^2/\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}+1\right]\div \left(\frac{d s}{d \theta}\right)$$
代入整理得
$$\kappa=\frac{2\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2+f^2-\left(\frac{d^2 f}{d \theta^2}\right)f}{\left[\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2+f^2\right]^{3/2}}$$
三维空间有没有类似方便的东西呢?我也正在思考^_^


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