一般来说,如果原函数容易找到的话,牛顿-莱布尼兹公式是定积分的通用方法。但是牛顿-莱布尼兹公式只适合连续函数的积分,如果积分区间含有奇点,那就不成立了。比如,我们考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
当然,从严格的数学上来说,这种写法是不成立的,因为被积函数在原点没有意义。当然,从物理的角度来考虑,由于对称性,我们确信
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx=2\int_{0}^1 \frac{1}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon\to 0}2\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x^2}dx$$
从而得出积分发散的结论。这种处理某种程度上是可以接受的,但是却不是让人满意的,因为它导致了分段。有什么办法可以直接处理这种情况呢?确实有的,同样引入参数,并且最终让参数为0,考虑带参数的积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx$$
只要参数为正,这个被积函数就在$\mathbb{R}$上处处连续了,也就是奇点消失了,这样子就可以用牛顿-莱布尼兹公式了
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2+\varepsilon^2}dx=\left.\frac{1}{\varepsilon}\arctan\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|_{-1}^{1}$$
考虑$\varepsilon\to 0$的情况,就自动得到了积分发散的结论。

但是,考虑积分
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x}dx$$
上述技巧就行不通了,因为作了参数之后
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x+\varepsilon}dx$$
它的奇点依然存在于积分区域内,只不过平移了一点而已。有什么办法可以解决这个问题呢?物理学家想了一个很巧妙的办法(我也不知道是数学家还是物理学家想出来的,反正我是在物理教程中看到的):翻到新的维度!他们添加的一项是:
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x+i\varepsilon}dx$$
这样就把被积函数放到了复平面去了!该函数在实数轴上是处处连续的,因此牛顿-莱布尼兹公式再次生效
$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x+i\varepsilon}dx=\left.(\ln |x+i\varepsilon|)\right|_{-1}^1=0$$

这样做的好处是,在数学的处理中让奇点消失,让各种无穷大自然地抵消掉了,留下净结果。

这样处理确实很不严格,但是在物理中,尤其是量子场论中,面对各种无穷大,连计算都成问题了,还怎么顾得上考虑严格性呢?物理学家总要把答案计算出来,然后看是否符合实际,最后再去考虑严格性、公理化之类的问题。所以,作为“过渡时期”的产物,这种计算技巧是非常必要的。


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