马里乌斯·索菲斯·李.jpg在这篇日志发表之前,科学空间在整个十月就只是在国庆期间发了一篇小感想,这是比较少见的。一个小原因是这学期社团(广播台)方面的活动有点多,当然这不是主要的,其实这个月我大多数课余时间放到了两件事情上:一是无线电路的入门,二就是本文所要讲的《求解微分方程的李对称方法》

李对称方法主要是通过发现微分方程的对称性来求解微分方程。我首次接触到这个方法是在一本叫《微分方程与数学物理问题》的书上边,书中写得很清晰易懂,后来我还买了类似的《微分方程的对称与积分方法》,后者相对抽象一些,讨论也深入一些。在我目前发现的中文书籍中,这是唯一的两本以李对称方法求解微分方程为主题的书。这两本书还有一个共同特点,就是它们都是外国教材的翻译版。

虽然现在看来《微分方程与数学物理问题》写得还是比较易懂的(但也不简单),但是对于当初刚买这本书的我还是很艰难的,因此一直没有弄懂它。直到今年九月在研究了《费曼引力学讲义》之后,发现在推导场方程时有些似曾相识的思想(无穷小变换),联想到了《微分方程与数学物理问题》的方法,遂想深入学习一些它,于是就有了本文了。的确,如果微分方程无法积分出来,那么我们只能采用定性或者数值计算的方法,然而,如果它存在积分的话,那么我们应该尽量求出积分,即使不能完全积分出来,也可以用它来进行化简。

本文为《求解微分方程的李对称方法》,大致的思路是先以一阶常微分方程为例,简述李对称方法的思想;然后推广到一阶常微分方程组;再然后就是稍微抽象化,真正涉及到一些李代数的内容。有可能的话,还可以探讨一下计算机实现的问题。我也不知道我能够写到什么程度,所以只能先把写好的部分发出来,但是我会尽量把它写好。如果读者发现错误的地方,或者有其他建议,欢迎提出来。

下载:
求解微分方程的李对称方法(一).pdf

李对称方法简介
1870年前后,Marius Sophus Lie 认识到,许多解微分方程的方法可以利用群论结合起来. 李对称性方法(Lie Symmetry Methods)是现代非线性微分方程研究的核心. 它们使用了对称的概念以系统的方式产生解. 本文是一个关于李(Lie)对称方法的简要介绍。

相比其他特殊的积分技巧,李对称方法是绝妙的。首先,对称的思想是引人入胜的;其次,李对称方法是简洁的。比如,如果不用李对称方法,那么要总结目前二阶常微分方程积分技巧,要分为超过400种的形式讨论,而李对称方法将其简化为4种。事实上,李对称方法当初就是为了整理大量的各种求积微分方程的技巧而总结出来的。大量的证据表明:群理论是求解非线性微分方程解析解的唯一通用和有效的方法。当其他的一些积分方法失效的时候,群理论是求解微分方程的通用工具。李群方法的最大优点在于,在可解的情况下,群分析理论在处理线性和非线性方程的问题时是等同的。

关于李(Lie)方法的一个关键概念是对称群的一个无穷小生成元. 这一概念体现在本文中。

目录
一、一阶常微分方程

1.1.无穷小变换
1.2.正则坐标
1.3.首次延拓
1.4.方程的对称性
1.5.用对称性解微分方程
1.6.给定对称性的方程
1.7.计算对称性
1.8.已知对称性的一阶常微分方程
1.9.本节例子

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