本文我们来探讨下列积分的极值曲线:
$$S=\int f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}=\int f(x,y)ds$$

这本质上也是一个短程线问题。但是它形式比较简答,物理含义也更加明显。比如,如果$f(x,y)$是势函数的话,那么这就是一个求势能最小的二维问题;如果$f(x,y)$是摩擦力函数,那么这就是寻找摩擦力最小的路径问题。不管是哪一种,该问题都有相当的实用价值。下面将其变分:

$$\begin{aligned} \delta S =&\int \delta[f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}] \\ =&\int [ds\delta f(x,y)+f(x,y)\frac{\delta (dx^2+dy^2)}{2ds}]\\ =&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx d(\delta x)+dy d(\delta y)}{ds} \\=&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx}{ds} d(\delta x)+\frac{dy}{ds} d(\delta y) \end{aligned}$$

对右边的$d(\delta x)$和$d(\delta y)$项使用分部积分法,即
$$\delta S=f \frac{dx}{ds} (\delta x)+\frac{dy}{ds} (\delta y)+\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)-d(f \frac{dx}{ds})(\delta x)-\frac{dy}{ds} (\delta y) $$

按照边界条件,我们是从过两定点的所有曲线中挑选出适当的一条,因此$f \frac{dx}{ds} (\delta x)+\frac{dy}{ds} (\delta y)=0$,因为在边界处有$\delta x=0$即$\delta y=0$。让我们再把上式整理一下:
$$\delta S=\int [ds(\frac{\partial f}{\partial x})-d(f\frac{dx}{ds})]\delta x+[ds(\frac{\partial f}{\partial y})-d(f\frac{dy}{ds})]\delta y $$

由于对于任意的$\delta x$和$\delta y$上式都成立,因此有:
$$\begin{eqnarray*} ds(\frac{\partial f}{\partial x})-d(f\frac{dx}{ds})=0 \\ ds(\frac{\partial f}{\partial y})-d(f\frac{dy}{ds})=0 \end{eqnarray*}$$

或者
$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{ds}(f\frac{dx}{ds})=\frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{d}{ds}(f\frac{dy}{ds})=\frac{\partial f}{\partial y} \end{eqnarray*}$$

这是看起来比较简洁的方程,其中$ds^2=dx^2+dy^2$,但是这个关系也可以不预先给定,这可以作为上述方程组的积分之一。因为我们有:
$$\begin{eqnarray*} (f\frac{dx}{ds})\frac{d}{ds}(f\frac{dx}{ds})=f\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{ds} \\ (f\frac{dy}{ds})\frac{d}{ds}(f\frac{dy}{ds})=f\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{ds} \end{eqnarray*}$$

两式相加得到:
$$\begin{eqnarray*} (f\frac{dx}{ds})\frac{d}{ds}(f\frac{dx}{ds})+(f\frac{dy}{ds})\frac{d}{ds}(f\frac{dy}{ds})=f\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{ds}+f\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{ds} \end{eqnarray*}$$

于是
$$\frac{d}{ds}[f^2 (\frac{dx}{ds})^2+f^2 (\frac{dy}{ds})^2]=\frac{d}{ds}(f^2)$$


$$f^2 [(\frac{dx}{ds})^2+(\frac{dy}{ds})^2 -1]=C$$

而$ds^2=dx^2+dy^2$对应于$C=0$,也就是说,在求解过程中我们完全可以把s看成与x,y无关的参数。

然而,简单的方程不一定意味着简单的解。一个很清楚的事实是:大多数曲线的方程的弧长都没有简单的表达式。也就是说,即使是很简单的曲线(比如抛物线$y=x^2$),它的弧长(周长)跟x,y本身的关系也是很复杂的,原因在于$s=\int \sqrt{1+(y')^2}dx$这里出现了根号,因此使用s作为参数时,我们很难会得到简洁的解析解。因此,求解这部分工作大多数都是计算机完成的,对于计算机来说,这些方程并不困难。事实上也正是如此,能够解析求解的只有非常有限的情况。


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