半个多月没有写文章了,一是因为接近期末考了,比较忙,当然最主要的原因还是人变懒了,呵呵,别人是忙里偷闲,我是闲里偷懒了。

这篇文章主要跟大家分享一下相对论动力学的知识。我们之前已经接触过相对论的坐标变换了,接下来的任务应该是把经典力学的动力学定律改成为相对论版本的,这显然也是学习场论的必经之路——懂得如何构造力学定律的相对版版本,是懂得构造相对论性场的基础。和朗道的《力学》与《场论》一样,我们的主线就是“最小作用量原理”。让我们回忆一下,在经典力学中,一个自由粒子的作用量是

$$S_m=\int Ldt=\int \frac{1}{2} m v^2dt$$

严格来说,我们需要把积分上下限写出来,但是简单起见我们就省略了,读者只要记住右端是一个定积分,因此S是一个数!通过变分$S_m$,我们就得到了自由粒子的运动方程$m\dot{v}=0$。

相对论版本又是怎样的呢?这里我无法给出具体细节,这篇文章也不是相对论的教程,因此不打算把所有的都写出来。假设读者已经有了张量的基本知识后,我们就知道,我们构造一个$S_m$,使其得到的运动方程和相对论协调的,$S_m$必须是一个标量,也就是要求Ldt是一个标量。标量就是在洛仑兹变换下不变量的量。在相对论中时间和空间是平权的,但是在Ldt这个表达式中,明显把时间放在了特殊位置,显然是不行的。我们有相对版版本的dt——粒子的固有时$d \tau=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt$,因此相对论版本的定律应该改写成:
$S_m=\int Ld \tau=\int L \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt$

下面要找出适当的标量L能够导出相对论版本的运动定律。另一方面,在速度很小时相对论方程要退化为牛顿方程。因此我们可以把$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$展开:
$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \approx 1-\frac{v^2}{2c^2}$$

对比经典力学的$L=\frac{1}{2} m v^2$,我们发现这里已经出现了$v^2$(常数项是不重要的!)!!因此,作为最简单的猜测,我们让$L=mc^2$即可,即
$$S_m=-mc^2\int d\tau= -mc^2 \int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt$$

事实上,这是正确的,这就是相对论性的粒子运动方程!然而,根据我们的游戏规则,假设我们对相对论运动定律一无所知,那么这只能算是一个猜测,一个最简单的猜测。也许有读者会问,你凭什么取最简单的情况,难道不可能有更复杂的非线性的吗?答案很简单:有可能。但是从我们思考的角度来讲,我们总希望一个理论越简单越好;并且我们现在是一个猜测,当然先猜测最简单的情况了,就算不正确,也可以慢慢改进嘛!

自由粒子的情况已经得到了,可是这还远远不够,因为我们要研究粒子在各种力的情况下运动情况。然而,在相对论中,力的作用已经不那么突出了,更多的是考虑场,即粒子在各种场下的运动。考虑最简单的标量场$\phi$,它描述的是时空中每一点的势(经典力学有挺多类比的,比如电势、引力势)。我们知道,在经典力学中,这一项是
$$S_{mf}=\int \alpha \phi dt$$

其中$\alpha$是常数,与场的源有关,比如对于电势,$\alpha$就是电荷量;对于引力势,$\alpha$是质量。就像前面所说的一样,这里又把时间放在特殊的位置了。但是我们采取前面的方法,将dt换成相对论版本的:
$$S_{mf}=\int \alpha \phi d\tau=\alpha \phi \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt$$

这也满足在低速时退化为牛顿力学这一限制。当然,这也是一个猜测。我们把两个作用量结合起来,得到一个总的S:
$$\begin{aligned} S= -mc^2 \int \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt-\alpha \phi \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt \\ =-\int (mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\alpha \phi \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}})dt \end{aligned}$$

经过复杂的变分,可以得出以下运动方程:
$$m\frac{du_i}{d\tau}+\frac{\alpha}{c^2}\frac{d(\phi u_i)}{d\tau}=\alpha\frac{\partial \phi}{\partial x^i}$$

其中
$u^i=\frac{dx^i}{d\tau}$
$(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$
$(x_0,x_1,x_2,x_3)=(x^0,-x^1,-x^2,-x^3)=(ct,-x,-y,-z)$

可见,上述就是相对论版本的粒子在标量势中的运动方程!

不过,我跟读者开了个玩笑:我们大费周章的出来的公式,事实上没有什么用处。当然,并不是说我们错了,这在形式上是没有问题的,而是因为在自然界中并没有发现单一的标量势场,我们所接触到的电磁场,已经算是最简单的经典场了,它的势都是一个矢量。是的,我并没有写错,发展到相对论中,不仅仅是力是矢量,连势都是矢量了!

至于为什么我还要带大家走走这条路,那是因为这种情况最简单说清楚我们发现相对论定律的一个思路:构造相对论不变量,并且该不变量在低速情况下退化为牛顿力学!不管是狭义相对论还是广义相对论,或者是量子场论,这一思路始终贯彻其中。当然,就像爱因斯坦当初打破牛顿力学的“铁律”一样,也许在未来我们要费尽心思挣脱相对论的约束——这是后话了,而且我觉得离我们这个年代还很远。


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