上一篇文章里我已经从我自己的理解角度简单说了一下场论的必要性,这次让我们再次谈到这个话题,企图在文字层面上得到更深入的认识。

上一两周的时间,我一直在找资料,主要是线性引力的资料,并且发现了很多有趣的东西,在此一并与大家分享一下。首先,当我在Google中输入“线性引力”时,我发现了一本“奇书”,一本名副其实的“巨著”——《引力论》!洋洋1300多页的大作,三位“超级巨星”——C.W.麦思纳(Charles W.Misner)、K.S.索恩(Kip S.Thorne)、J.A.惠勒(John Archibald Wheeler)——联合编写,恐怕再也找不到哪本书可以PK它的“全明星阵容”了。该书英文名为Gravitation,中文是由台湾翻译的,繁体中文版。全书讲述了引力的研究历史和发展情况,更重要的是几乎每一处历史都给出了数学论证!最最重要的,作者惠勒还是跟爱因斯坦同一个研究时代的人,我们可以最真实的感受到那年代的研究。看到这里,我就迫不及待地想买了,由于各种原因,我们很难买到,到图书馆找,发现有英文版的,就马上借过来了,另外因为买不到中文版,我只好到网上买了电子版,然后打印出来了。不过不是很清晰,而且自我感觉中文翻译不是很好(当然,已经够我们阅读了)。

为什么要研究线性引力呢?广义相对论不是一个高度的非线性理论吗?这里有深层次的原因。广义相对论把引力几何化,得出了一个自身很美妙的理论,但却很难跟量子理论调和,这是因为从本质上讲,广义相对论不是一种场论,而是一种几何理论,这样一般的量子理论(场论)就跟它不相容了。从物理上来讲,就是量子理论需要一个固定的(绝对的)时空背景,而广义相对论则否对了绝对参考系的存在,于是乎这两者自然是“水火不容”了。

但是从我们的直觉来讲(虽然直觉未必是对的),引力确确实实是一种实在的力,用弯曲时空来解释它似乎有点“荒谬”,于是有些物理学家从发展出了从场论角度出发的引力理论,让人既很惊奇、又在意料之中的是,两条不同的路径,得到的是同样的结果——广义相对论。这些物理学家包括Gupta、Feynman、Thirring和Weinberg等(注意,费曼再次惊现!!)

场论是思想是怎样的呢?我们把引力看作实实在在的力,力是符合叠加原理的,因此引力场也符合叠加原理,所以引力场方程应该是线性的。可是为什么广义相对论如此非线性?因为引力的来源非常特殊——质量,是的,有质量就有引力,而$E=mc^2$告诉我们有能量就有质量!一个实物创造了一个“属于它的”引力场,我们上一篇文章已经简单地说明,场是可以储存能量的,所以这个引力场本身会有一定的能量,这又会成为额外的引力源,这个引力源会产生一个次引力场叠加在原引力场中,然后这个次引力场也会产生一个次次引力场,如此得到了一个引力场的无穷级数,虽然每一步都是线性的,但是这个无穷级数的总效应却是非线性的!(这有点像摄动法:一个非线性的方程求解时可以化为无穷多个线性方程的叠加来逐步求解)

场论的方法的好处就是保留了平直时空。是的,虽然最终的结果还是广义相对论,但是两者是在数学形式上的一样,而物理意义完全不同了,爱因斯坦的解释是时空的弯曲,而场论的思想是平直时空的无限场叠加,这两者的重要区别在于,平直时空的理论是比较容易量子化的(容不容易我也不是十分清楚,我也只是道听途说,等我学好了再回来看这个观点^_^),所以我们可以得到引力的量子理论!是的,我不是开玩笑,其实费曼就得到过量子引力理论,这不是特别困难,困难在于这个理论是不可重整化的!

重整化是量子场论中一套处理发散的方法。关于重整化的概念,我们可以通过以下方式得到一个大概的印象:
$$I=\int_0^b \frac{1}{x}dx-\int_0^a \frac{1}{x}dx$$
右端的两个积分都是无法计算的,这就是发散困难,但是实际上I是存在的(在物理问题中)。重整化的技巧就是添加小参数$\varepsilon$:
$$I=\int_{\varepsilon}^b \frac{1}{x}dx-\int_{\varepsilon}^a \frac{1}{x}dx$$
然后重整为
$$I=\int_a^b \frac{1}{x}dx=ln b - ln a$$

当然实际上的技巧更复杂!

在此不对量子引力谈更多了,以后的文章中我会倾向于给出这些理论的数学描述,希望能够引导大家接触到更进一步的场论,甚至是前沿的物理学。不过,还要多谈一下的是费曼——当之无愧的“重新发现了整个物理学”的人!以前我们对他的印象只是在于量子力学和路径积分,其实他自己也是研究引力的高手之一,上面说的线性引力——广义相对论,也有他大部分的功劳。有一本书总结了他关于引力方面的研究,那就是《引力学讲义》,英文名为Feynman's Lecture on Gravitation,也是一本相当好的引力资料!(PS:新浪共享上面有这本书下载)


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