在上一篇文章中,我们以矩阵的方式推导出了洛仑兹变换。矩阵表述不仅仅具有形式上的美,还具有很重要的实用价值,比如可以很方便地寻找各种不变量。当洛仑兹变换用矩阵的方式表达出来后,很多线性代数中已知的理论都可以用在上边。在这篇小小的续集中,我们将尝试阐述这个思想。

本文中,继续设光速c=1.

我们已经得到了洛仑兹变换的矩阵形式:
$$\left[\begin{array}{c} x\\t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x'\\t' \end{array}\right] $$

时间与空间虽然在相对论中已经融合为一个整体,但是时间的的确确具有它自己的独特性。为了体现这种独特性,我们沿用理论物理中一贯的做法,将时间乘上虚数单位$i$,那么洛仑兹变换矩阵变成了:
$$\left[\begin{array}{c} x\\it \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iv\\ iv & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x'\\it' \end{array}\right] $$

这种形式有它自己的优越性。我们将变换矩阵$\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iv\\ iv & 1 \end{array}\right]$记为$\mathbf{A}$,将$\left[\begin{array}{c} x\\it \end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c} x'\\it' \end{array}\right]$分别记为向量$\mathbf{x}$和$\mathbf{x'}$。即
$$\mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{x'}$$

光速不变原理

矩阵$\mathbf{A}$满足:$\mathbf{A}^T \mathbf{A}=I$,这就给我们带来了极大的便利,因为我们可以立马发现一个不变的量:
$$\mathbf{x}^T \mathbf{x}=\mathbf{x'}^T \mathbf{A}^T \mathbf{A} \mathbf{x'}=\mathbf{x'}^T \mathbf{x'}$$

翻译过来就是$x^2-t^2=x'^2-t'^2$。这是光速不变原理的体现。

当然,我们也可以以$x^2-t^2=x'^2-t'^2$为出发点来推导洛仑兹变换的矩阵,这将得到矩阵的$\left[\begin{array}{c c}a & c\\ b& d \end{array}\right]$的两个关系式。再结合相对性原理以及相对运动就可以得到完整的矩阵的形式。读者不妨亲自尝试一下?

速度合成

如果两个洛仑兹变换的合成会出现什么结果呢?假设(同向运动)物体A相对于B的速度为v,B相对于C的速度为w,那么A相对于C的速度是多少呢?我们看看对应的两个洛仑兹变换矩阵$\mathbf{A}_v$和$\mathbf{A}_w$的合成,即
$$\mathbf{x}=\mathbf{A}_v \mathbf{A}_w \mathbf{x'}$$

$$\begin{eqnarray*}\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iv\\ iv & 1 \end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{1-w^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iw\\ iw & 1 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{(1-v^2)(1-w^2)}}\left[\begin{array}{c c}1+wv & -i(w+v)\\ i(w+v) & 1+wv \end{array}\right] \\=\frac{1+wv}{\sqrt{(1-v^2)(1-w^2)}}\left[\begin{array}{c c}1 & -i(\frac{w+v}{1+wv})\\ i(\frac{w+v}{1+wv}) & 1 \end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

将最后一个矩阵与$\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & -iv\\ iv & 1 \end{array}\right]$对比,不难速度的合成为:
$$\frac{w+v}{1+wv}$$

这就是相对论的速度合成公式。(当然,如果你对$\frac{1+wv}{\sqrt{(1-v^2)(1-w^2)}}$不放心,可以再检验一下。)对于这种处理来说,这些结果是相当简洁显然的,足以充分体现矩阵研究的巨大魅力。


转载到请包括本文地址:http://kexue.fm/archives/1923/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!