解决完上一题《有多少个5?》后,子瑞表示看到一道类似的题目,当然,这道题比上一道难一些:

一个数,各个数字加起来等于900,乘以2后各个数字加起来还是等于900,已知这个数字只有3、4、5、6组成,请问满足条件的最大数与最小数的积有多少位数?

要解答这个问题,我们只需要知道最大数和最小数分别有多少位即可。因为最大数必然是6...3的形式,而最小数只能是3...6的形式,它们的位数之和就是所求的位数。

怎样比较两个数的大小呢?显然,在不同位数的数时,位数多的数要大,同样位数才从高到低逐位比较。因此,我们应当考虑位数的最大与最小。

设这个数有a个3、b个4、c个5和d个6,由已知条件得:
$3a+4b+5c+6d=900$————(1)
$6a+8b+c+3d=900$————(2)

并记$s=a+b+c+d$,s就是总位数。要求s的最大值跟最小值。在这里,由于有两个等式,因此变量a、b、c、d只有两个是独立的,并且由于题目本身的限制,它们只能够是正整数。因此本题是一道简单的线性规划以及数论问题。

$(1) \times 2-(2)$得:
$c+d=100$
由此得c跟d不是独立的,那么a与b也不是独立的。

$(1)+(2)$得:
$3a+4b+2c+3d=600$

即$s=200+\frac{c-b}{3}$

由上述推理得c、b是独立的。因此要求最大的s,不妨试探性取b=1,c=97;代入可以发现存在a=131这个合理的解。那么答案就出来了,最大的s是232.

同理,要求最小的s,不妨试探性地取c=1,那么d=99,代入$3a+4b+2c+3d=600$得到
$3a+4b=301$

取最大的b,当a=3时,b=73;再代入$s=200+\frac{c-b}{3}$,正好得到整数s=176.

我们有理由相信,最小的s就是176了。当然,如果你还不放心,可以试探性取c=2,看看得到的结果如何?也不必取到c=3、4等等去试探了,因为整体来讲,c的增大会导致b的减少,这样一来,c-b反而变大了。

因此我们知道最终答案就是:232+176=408!一开始题目所求的位数!


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