为了让大家更加熟悉摄动法的基本步骤,本文再讲一个用摄动法解代数方程的例子。这是从实际研究中出来的:
$$\begin{eqnarray*} x=\frac{k(1+k^2+k^4+l^2)}{2(1+k^2)^2} \\ k=\frac{dy}{dx}\end{eqnarray*} $$

这是一道微分方程。要求解这道方程,最好的方法当然是先从第一式解出$k=k(x)$的形式然后再积分。但是由于五次方程没有一般的显式解,所以迫使我们要考虑近似解。当然,一般来说熟悉mathematica的人都会直接数值计算了。我这里只考虑摄动法。

我们将原方程变为下面的形式:
$$x=\frac{k}{2}[1+\frac{l^2}{(1+k^2)^2}]$$

不难发现,当$l=0$时,原方程有一个简单的解$k=2x$,从这个解出发,我们寻找l很小时的近似。当然,由于原方程的复杂性,我只考虑一阶近似。设近似解为$k=2x+l^2 p$。代入原方程我们得到
$$x=\frac{2x+l^2 p}{2}[1+\frac{l^2}{(1+(2x+l^2 p)^2)^2}]$$

只考虑一阶的近似,就有:
$$x=\frac{2x+l^2 p}{2}[1+\frac{l^2}{(1+(2x)^2)^2}]$$

拆开就可以得到:
$$\frac{x l^2}{(1+4x^2)^2}+\frac{l^2 p}{2}=0$$


$$p=-\frac{2x}{(1+4x^2)^2}$$


$$k=2x-l^2\frac{2x}{(1+4x^2)^2}=\frac{dy}{dx}$$

积分得
$$y=x^2+\frac{l^2}{4(1+4x^2)}$$

这就是原微分方程的近似解。它在x=0处并没有发散,而且|x|越大近似越好,说明这个解形态还是挺优良的。当然,l需要相当地小。


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