大概在半年前,我曾用“化圆法”解决了椭圆内定长弦中点轨迹问题,求出了轨迹方程。前几天,我收到了网名为“理想”的网友的Email,他提出了自己对这个问题的解法,并得到了形式不同的轨迹方程,因此对两者的等价性表示疑惑。经过检验,我跟他的轨迹方程基本上是等价的,不过,他求出的轨迹方程总包括了原点,这是一点不足之处。但是看起来,他的轨迹方程却感觉好看一些。这的确很让人意外,因为从他的化简过程来看,有种“化简为繁”的味道,却得出了相当简洁的答案,着实有趣。

经过网友的同意,将他的过程贴在这里与大家分享!后面附有pdf文档,欢迎下载阅读。希望在科学空间可以看到更多的读者留下的痕迹。

椭圆定长弦中点轨迹的一种解法

作者:理想

本文介绍了一种计算椭圆定长弦中点轨迹的方法。设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$,弦长为$2r$,随着弦的两端在椭圆上滑动,弦的中点形成的轨迹为:
$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$
它不是一个椭圆,而是一个高次曲线。

设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$,弦长为$2r$,设弦的两端分别为 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, 弦中点为 $P(x, y)$, 有如下关系:
$\begin{eqnarray*}x = \frac{x_1 + x_2}{2}\\ y = \frac{y_1 + y_2}{2}\end{eqnarray*}$

条件一:点$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$在椭圆上,满足椭圆方程:
$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$————(1)
$\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1$————(2)

条件二:弦长$|AB| = 2r$:
$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = 4r^2$————(3)

第一个关键方程:A、B两点椭圆方程相加:(1) + (2):
$\frac{x_1^2 + x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 + y_2^2}{b^2} = 2$
$\frac{(x_1 + x_2)^2 + (x_1 - x_2)^2}{a^2} + \frac{(y_1 + y_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}{b^2} = 4$————(4)
设$x_1 - x_2 = 2w$, $y_1 - y_2 = 2h$, 结合 $x_1 + x_2 = 2x$, $y_1 + y_2 = 2y$, 代入(4):
$\frac{4x^2 + 4w^2}{a^2} + \frac{4y^2 + 4h^2}{b^2} = 4$
$\frac{x^2 + w^2}{a^2} + \frac{y^2 + h^2}{b^2} = 1$————(5)
得到第一个关键方程(5)。

第二个关键方程:(1) - (2):
$\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0$
$\frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{a^2} + \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{b^2} = 0$
$\frac{2x\cdot2w}{a^2} + \frac{2y\cdot2h}{b^2} = 0$
移项,两边平方(消去负号):
$\frac{x^2}{a^2}\cdot\frac{w^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}\cdot\frac{h^2}{b^2}$————(6)
得到第二个关键方程(6)。

第三个关键方程:设$2w = x_1 - x_2$,$2h = y_1 - y_2$,代入(4)式:
$w^2 + h^2 = r^2$————(7)
得到第三个关键方程(7)。

综上,得到的三个关键方程如下:

$\begin{eqnarray*}\frac{x^2 + w^2}{a^2} + \frac{y^2 + h^2}{b^2} = 1......(8) \\ \frac{x^2}{a^2}\cdot\frac{w^2}{a^2} =\frac{y^2}{b^2}\cdot\frac{h^2}{b^2} ......(9)\\ w^2 + h^2 =r^2......(10) \end{eqnarray*}$

只要从中消去$w^2$和$h^2$项,即可得到仅包含$x^2$和$y^2$的曲线方程。下面是一种解法:设
$\begin{eqnarray*}p = \frac{x}{a}......(11) \\q = \frac{y}{b}......(12) \\m = \frac{w}{a}......(13) \\n = \frac{h}{b}......(14)\end{eqnarray*}$
方程组化为
$\begin{eqnarray*}p^2 + q^2 + m^2 + n^2 = 1......(15) \\p^2m^2 = q^2n^2......(16) \\a^2m^2 + b^2n^2 = r^2......(17) \end{eqnarray*}$

$(17) \times p^2 + (17) \times q^2$得:
$a^2m^2p^2 + b^2n^2p^2 + a^2m^2q^2 + b^2n^2q^2 = p^2r^2 + q^2r^2$————(18)
由(16)$p^2m^2 = q^2n^2$,代入上式(18),
$a^2n^2q^2 + b^2n^2p^2 + a^2m^2q^2 + b^2m^2p^2 = p^2r^2 + q^2r^2$
$(a^2q^2 + b^2p^2)(m^2 + n^2) = (p^2 + q^2)r^2$————(19)
$(15) \times (a^2q^2 + b^2p^2)$,得:
$(a^2q^2 + b^2p^2)(p^2 + q^2 + m^2 + n^2) = (a^2q^2 + b^2p^2)$
$(a^2q^2 + b^2p^2)(p^2 + q^2) + (a^2q^2 + b^2p^2)(m^2 + n^2) = (a^2q^2 + b^2p^2)$
联合式(19),消去$(m^2 + n^2)$项,得:
$(a^2q^2 + b^2p^2)(p^2 + q^2) + (p^2 + q^2)r^2 = (a^2q^2 + b^2p^2)$
$(p^2 + q^2)(a^2q^2 + b^2p^2 + r^2) = (a^2q^2 + b^2p^2 + r^2) - r^2$
$(p^2 + q^2 - 1)(a^2q^2 + b^2p^2 + r^2) + r^2 = 0$
$(p^2 + q^2 - 1)(\frac{p^2}{a^2} + \frac{q^2}{b^2} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$
代入
$p = \frac{x}{a}$
$q = \frac{y}{b}$
得到最终结果:
$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$

结论:椭圆定长弦中点轨迹,其实并不难解,只是它不是一个椭圆曲线,即使解出函数方程,也不容易看出曲线的形状。

PDF下载:椭圆定长弦中点轨迹的一种解法.pdf


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