当二次型在二维平面的情况下时,就等价于二次曲线的化简。二次曲线的化简主要用到平移和旋转,这恰好是复数所“擅长”的。因此,以复数为工具来对二次曲线进行化简,似乎是一种很显然的思路。然而,我却没有看到这方面的内容,而且我自己之前也忽略了这一思路。下面我对这个思路进行一点探索。

由于只打算做一些启发性引导,所以在这里只考虑$ Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$这种不完全的形式(它不包含抛物线)。

对于一个复数$z=x+yi$,有
$$ x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) \\ y=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})$$
将这两条式子代进去,就可以得到任意一条平面曲线的复数表达式式。对于上述二次曲线,我们可以得到:
$$(A-C+Bi)z^2+(A-C-Bi)\bar{z}^2+2(A+C)z\bar{z}=4$$

对于二次型的最终表达式,我们希望最后是只有平方项的,平方项的复数表达式为
$$z\bar{z}=x^2+y^2 \\ z^2+\bar{z}^2=2(x^2-y^2)$$

因此,我们要做的就是把二次曲线的复数表达式变换成$z\bar{z}$和$z^2+\bar{z}^2$的线性组合形式。而直接从
$$(A-C+Bi)z^2+(A-C-Bi)\bar{z}^2+2(A+C)z\bar{z}=4$$

就很容易看出,只要令
$$Z=z\sqrt{A-C+Bi}$$

上式就可以改写为
$$Z^2+\bar{Z}^2+\frac{2(A+C)}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}Z\bar{Z}=4$$

这就是我们期待的形式。这真是一个很讨人喜欢的巧合!这样,我们从复数出发,稍微经过了一点运算,轻松得出了二次曲线的最简形式:
$$2(X^2-Y^2)+\frac{2(A+C)}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}(X^2+Y^2)=4$$
$$(\frac{A+C}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}+1)X^2+(\frac{A+C}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}}-1)Y^2=2$$

而且用矩阵化简二次曲线的时候,旋转变换的具体形式是较难给出的,但是复数就不同了,它直接告诉我们:
$$Z=z\sqrt{A-C+Bi}$$

可见,这种数的几何在某些情况下还是有相当大的优越性的。虽然矩阵代数可以完全把高维数(四元数、八元数)的结果囊括进去,但是研究一下数本身的规律,还是相当有启发性的。就好比复数在现代的量子力学中占据了本质的地位,这是发明者完全想象不了的。也许某一天,某一种数也会在描述宇宙中发挥更大的作用。这便是数学的魅力所在!


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