在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中,我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题,那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线,但把同样的问题延伸到椭圆上,却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起,不像抛物线方程那样可以容易分离开来(指的是分离成$y=f(x)$的形式)。BoJone尝试了若干种方法,还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”,终得轨迹方程。

椭圆内的定长弦1.PNG

所谓化圆法,就是将椭圆通过拉伸变成一个圆,利用圆的性质来解决一些问题。众所周知,相比椭圆,圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时,所总结出来的一种方法。有时候,把椭圆拉伸为圆后,结论就相当显然了;同时,圆作为一个特殊的椭圆,椭圆的一般结论,放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题,不妨先研究它的特例——圆问题;另一方面,利用圆的对称性等等,也可以大幅度地减少计算量,所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是,它居然在求本文的轨迹时派上用场了。

如何把椭圆化为圆呢?很简单,设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,只需要把椭圆的y轴坐标拉伸为原来的$\frac{a}{b}$倍,椭圆就变成了$x^2+y^2=a^2$;或者把椭圆的x轴左边收缩为原来的$\frac{b}{a}$,椭圆就变成了$x^2+y^2=b^2$。

拉伸或收缩后的图形有什么特点呢?原来的相交、相切、相离关系保持不变,图形面积按长度伸缩的比例进行变化(只伸缩了一维,所以不用平方),当然角度和长度都会变化等等,在下面的计算中读者能够体验到具体过程。

如图,椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$内有定长弦AB,$|AB|=2l$,其中P(x,y)是AB的中点,设AB的斜率为k。

椭圆内的定长弦2.PNG

采用拉伸的方法,将椭圆的y轴坐标拉伸为原来的$\frac{a}{b}$倍,得到结果如下:

P点变成了$P'(x',y')=P'(x,\frac{a}{b}y)$
斜率k变成了$k'=\frac{a}{b}k$

那么长度怎么变化呢?我们有弦长公式$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_A-x_B|$,可见弦长正比于$\sqrt{1+k^2}$,所以拉伸后的弦长为

$|A'B'|=2l*\sqrt{\frac{1+\frac{a^2}{b^2}k^2}{1+k^2}}$

容易得到OP'的斜率为:$\frac{y'}{x'}=\frac{ay}{bx}=-\frac{1}{k'}=-\frac{b}{ak}$

从中解得$k=-\frac{b^2 x}{a^2 y}$

我们也可以求出OP'的长度了。

$|OP'|^2=x'^2+y'^2=x^2+\frac{a^2}{b^2}y^2$

另一方面,它也等于

$a^2-(\frac{|A'B'|}{2})^2=a^2-l^2(\frac{1+\frac{a^2}{b^2}k^2}{1+k^2})$

$x^2+\frac{a^2}{b^2}y^2=a^2-(\frac{|A'B'|}{2})^2=a^2-l^2(\frac{1+\frac{a^2}{b^2}k^2}{1+k^2})$

根据我们得出的$k=-\frac{b^2 x}{a^2 y}$,代入上式并经过一系列化简后可以得到

$a^2 b^2[1-l^2(\frac{a^2 y^2+b^2 x^2}{a^4 y^2+b^4 x^2})]=a^2 y^2+b^2 x^2$

这就是轨迹方程!当然,也可以经过化简变成下面的结果。在我看来,下面的式子更好看些:
$\sqrt{a^2 b^2-a^2 y^2-b^2 x^2}*\sqrt{\frac{a^4 y^2+b^4 x^2}{a^2 y^2+b^2 x^2}}=lab$

(本结果获于2012.06.05)

这是a=2,b=1,l=0.5时的结果:
椭圆内的定长弦3.png

总结

“化圆法”是一种几何变换的方法,是应对圆锥曲线的练习题的大计算量的一种有效方法。当然,它有它的局限性。尤其是遇到定角问题时这个方法往往都会失效了,具体情况需要读者在实际应用中多多摸索总结。高中的学习过程中,老师们为了统一,几乎都不会讲述这个技巧。但是它却由于它的通用性和简洁性深为我喜欢。虽然有点“偏方”的味道,但实在是很多应用。有兴趣的朋友以后遇到相关题目时,不妨多从这个角度思考一下,或许会有意外的收获。另一方面,其实很多在圆中相当简单的几何结论(如切割线定理),通过伸缩变换成椭圆,就会成为一道相当不错的圆锥曲线练习题。这也可能是圆锥曲线题目命题者的一个出题思路。


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