其中前六题是选择题,具体情况记不起来了,其实也是挺简单的。不过有兴趣的朋友可以在本文的PDF附件查阅到试题(来自“空念远兮”数学网站)。

对了这个PDF文件的参考答案之后,BoJone发现我的选择题全对。而后三道大题我只做了最后两道,解法也和PDF中的不大一样,在此写出来与大家讨论。

1、求证:内角相等的圆内接五边形是正五边形。

这道题是我在最后十五分钟做出来的。一开始想到很多复杂的定理方法,后来发现它可以很简单证明。

如图是一个满足题目条件的五边形。
五边形.PNG

由于每个三角形都有一个点在圆心,两个点在圆上,所以它们都是等腰三角形。
由内角相等得:
a+b=b+c=c+d=d+e=e+a
而且
$a+b=b+c => a=c;c+d=d+e => c=e =>a=c=e$
$b+c=c+d => b=d;d+e=e+a => d=a =>b=d=a$
所以
a=b=c=d=e。由此得出∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA。
所以这个五边形是正五边形。证毕。

注:貌似可以推广为“内角相等的圆内接奇数边形是正奇数边形。”

2、求证:$\sqrt{2}+1$的任意正整数次幂都可以表示成$\sqrt{s}+\sqrt{s-1}$的形式,其中s是正整数。

这个问题是我最开始想的(那时刚发下试卷,还没有开始考试)。起初以为可以用数学归纳法,但是发现不怎么能够行得通,就另觅他法可。解法在思想上和PDF中的差不多,只是表达上有所不同。

设$(\sqrt{2}+1)^n=a+b\sqrt{2}=\sqrt{a^2}+\sqrt{2b^2}$,其中a,b都是正整数。
不难证明:
(1)当n是奇数时,有$(\sqrt{2}-1)^n=-a+b\sqrt{2}$;
(2)当n是偶数时,有$(\sqrt{2}-1)^n=a-b\sqrt{2}$。

下面就来证明:
(1)当n是奇数时,$s=a^2+1$,即$2b^2-a^2=1$
(2)当n是偶数时,$s=a^2$,即$a^2-2b^2=1$

第(1)种情况可以解得:
$a=\frac{(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n}{2}$
$\sqrt{2} b=\frac{(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n}{2}$

代入得到$2b^2-a^2=\frac{[(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n]^2-[(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n]^2}{4}$
$=\frac{4(\sqrt{2}+1)^n(\sqrt{2}-1)^n}{4}=1$

第(2)种情况可以解得:
$a=\frac{(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n}{2}$
$\sqrt{2} b=\frac{(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n}{2}$

同理代入得到$a^2-2b^2=1$
证毕

附件:
2012年北约自主招生数学-空念远兮.pdf
2012年北约自主招生数学参考答案-空念远兮.pdf


转载到请包括本文地址:http://kexue.fm/archives/1551/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!