昨天一个QQ好友让我帮忙解决一道物理题目:

长为L的均匀木杆重Q,在木杆上离A端L/4处放有一重为Q/2的重物,平衡时,木杆AB与水平面的夹角θ有多大?

木杆平衡.PNG

看上去挺有趣的。于是我先记了下来,今天早上思考了一会儿,得出了下面的结果。其中我解答并没有直接受力分析,而是用了我们之前已经谈到过的“最小势能原理”:平衡系统中的势能必取极(小)值

首先如图所示,把问题一般化,记两个细绳长度为b,木杆程度为L,质量为m;木块质量为M,距离A点的距离为a。设中心点处的坐标为(x,y),不难列出$x^2+y^2=b^2-(\frac{L}{2})^2=r^2$,于是可以设$y=r cos\theta,x=r sin\theta$(这里和一般的极坐标有点出入,但这只是为了计算方便),可见,变量只有θ,这是一个一自由度的问题。

选择O点所在的平面为参考平面,不难得出木杆的势能为$E_{p1}=-mgr cos\theta$,而木块的势能为$E_{p2}=-Mgr[r cos\theta+(\frac{L}{2}-a)sin\theta]$,总势能为
$E_p=-mgr cos\theta-Mg[r cos\theta+(\frac{L}{2}-a)sin\theta]$

对其求导并令导数为0,
$\frac{dE_p}{d\theta}=mgr sin\theta+Mg[r sin\theta-(\frac{L}{2}-a)cos\theta]=0$

解得$tan\theta=\frac{M(L-2a)}{2r(M+m)}$
其中$r=\sqrt{b^2-(\frac{L}{2})^2}$

对于QQ好友原来提出的问题,得到:$tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{18}$

可以从以下几个定性的角度来对答案进行检验:

1、检查左右两边的量纲是否相等。本答案两边都无量纲,显然满足;
2、当$a=\frac{L}{2}$时,显然不会倾向某一边,该答案满足;
3、当$a > \frac{L}{2}$时,显然会倾向另外一边,该答案满足(tanθ变负数);
4、当M为0时,显然偏角为0;当M远远大于m时,偏角与M,m无关。该答案满足。
5、当b非常长(趋于无穷)时,显然偏角不会明显,于是θ趋于0。该答案也满足。

很多时候检验并不是要我们重新计算一遍,而是像上面一样找一些特例来验证。因为一个正确的答案必须能满足物理现象的各个方面。这些特例其实就描述了这个物理系统的性质。这是定性的方法。掌握一些定性方法,能让我们在全然不知具体细节的情况下,“摸清”答案具有的各种性质,甚至“猜出”答案!这正是诸多物理大师如费米、费恩曼、惠勒等擅长的。


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