九月三日BoJone和九个同学到云浮参加了今年广东省的数学竞赛预赛,那一起出发、玩笑、作战、吃饭的情景依然历历在目,让我久久不能忘怀。是呀,能够并肩作战的感觉真好!九日数学成绩出来了,遗憾的是今年政策改变了,我被告知整个市只有三个名额能够参加复赛,于是新兴只有我一个人进入了复赛(另外两个据说是罗定的,我们三个并列第一)。有点无语,我想,大概是要把那些为了功利而参赛的人都给刷下去吧...

今年广东的预赛题前所未有的简单,不论是和全国其他地方相比还是和上一年的题目相比,都简单了不少,但我还是做得不大理想,据我估计,120分的卷子我顶多能够拿个68分,所以BoJone的基本技能实在不容乐观。从云浮考试回来后,和同行的同学讨论试题,得出了一些很有趣的结果,那过程可谓其乐无穷呀!下面是倒数第二题预赛题的几个绝妙解法,供大家欣赏。解法由我和伍泽麒(人称“兔子、神兔”,人如其名,天资聪颖,性格可爱)完成。

题目:

在一条线段中随意选取两个点,把这条线段截成三段,求这三段线段能够组成一个三角形的概率。

题目很容易看明白,答案也很简单,是1/4。这种题目常规的思路是线性规划,但线性规划是一种代数思想,属于解析几何的范畴。而1/4这个答案是如此简洁,甚至让我们感到线性规划做法过于“丑陋”了,我们应该寻找到更简明、更直接的思路,并希望能向纯几何思路靠拢。正是因为这一思想,下面的三种解法诞生了。

一、圆形、对称思想

圆形-对称思想.PNG

将所要截的线段首尾相连摆成一个圆,设A为连接点,并设另外两个截点为C和D,只要A、C、D不在同一个半圆内,就可以将圆拉直为ΔACD。如图,AB为直径,那么C、D必须被AB分隔开来,这样的概率是1/2(C、D同在AB下方的概率是1/4,上方亦然)。

在圆上任意选取一点C,则D的取值区域为劣弧BB',同时可以找到对应的另外一点C',使得D的不可取值区域为劣弧AA',其中AC=BC',BB'=AA',则在1/2概率中,能够组成三角形和不能够组成三角形的情况是一一对应的,那就说明它们的概率相等,即各占一半,于是能够组成三角形的概率为$P(\Delta)=1/2 *1/2 = 1/4$。

二、椭圆、圆思想

椭圆-圆形思想.PNG

周长固定的三角形,固定其中两点,第三点随意运动,描绘出来的轨迹是一个椭圆。根据这个原理,我们分别以线段长度以及长度的一半作同心圆。设线段AD被截成了AB、BC、CD三段,令AB段与直径MN重合,其中点与O点重合。那么只有当C点在小圆内时,才可以找到对应的AB段组成一个三角形(找到相应的椭圆即可),当C点在小圆外大圆内时,无法找到AB段组成一个定周长的三角形。于是可以组成三角形的概率等于S小圆/S大圆=1/4.

三、三角坐标系思想

三角坐标系这个思想很具有代表性,不过它的思路来源倒不是数学,而是地理。的确,我第一次看到它的时候是在地理试卷,那种描述一个国家地区的幼年、中年、老年人口比例的图,这三个比例有一个特点,那就是它们的和等于1。而本文所探讨的三角形也有类似的性质:三边之和为定值。这就给了我一点启示。

三角坐标系思想.PNG

如图,以线段长为边长作等边三角形ABC,并作如图所示的D、E、F点,可见PD+PE+PF=AB,且PD=AF,PF=CE,PE=BD。则要组成三角形,只需要满足任意两边之和大于第三边,也就是每一边都小于$1/2 AB$即可。从图中可以看出,只要AF、CE、BD有一边大于$1/2 AB$,那么P点必然落在了三角形GHI外,因此要组成三角形,P点必须在三角形GHI内,于是组成三角形的概率:
$P(\Delta)=\frac{S_{\Delta GHI}}{S_{\Delta ABC}}=1/4$

解法介绍完毕。

以上就是我们班同学在探讨题目过程中得出的三种解法,每一种解法都尽量靠近纯几何,并使思路尽可能地明显,在欣赏数学简洁美的同时,企图让大家觉得思路的必然性。当然,这只是冰山一角,希望经过抛砖而引出玉来。如果各位读者有更好的解法,欢迎交流。在此,科学空间祝大家中秋节快乐!


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