在农村,7月是忙碌的月份,农民们要忙着收割稻谷,收割完后要晒谷,同时还得准备“下秧”,准备新一轮的耕,BoJone家自然也不例外。不过我家田比较少(1亩左右),收割机几分钟搞定,谷也三两天就晒完了。不过在晒谷的时候,BoJone在考虑一个“收谷”问题:

晒谷时得先把成堆的谷子摊开,薄薄地平铺在平地上,等到傍晚或即将下雨时(这是最惨的情况,搞不好会淋谷)就将其收起来。问题就源于这里,一般来说我们会把谷均匀地铺成矩形,要把所有的谷都推到矩形里或外的哪一点上,才使得我们做功做小?

这个问题还可以推广开来,例如对于一地任意形状的谷子(如三角形),把它集中堆到哪个点最“轻松”?一堆固定质量的谷子,要把它平铺成什么形状,才使得收谷时最“轻松”?当然,这个问题的解不仅仅用于“收谷”,在很多规划建设中也可以应用到,例如要在一个人口大致均匀的城市中建设一个服务中心,这个服务中心应该建在哪里?这有点类似于我们之前讨论过的费马点问题 ,都是费马点只考虑了三个点的距离,而这个问题得考虑所有点的距离。

事不宜迟,我们先看第一个问题:要把所有的谷都推到矩形里或外的哪一点上,才使得我们做功做小?其实由对称我们很容易就证明这个点就是矩形的几何中心(读者自己来试试?)。不过BoJone不满足于定性分析,我想进行一下定量的计算。

矩形谷地.PNG

我们先来考虑把谷都堆到一个角(原点)上的情况。设谷的面密度为1,收谷做功应该与质量和距离都成正比,于是在矩形中一块边长分别为dx,dy的小矩形谷运回原点所做的功为$\sqrt{x^2+y^2} dxdy$,整块谷地运回原点所做的功应该是二重积分:
$W=\int\int \sqrt{x^2+y^2}dxdy$
(积分区域是一个边长为a,b的矩形)

这里为还没有接触过二重积分的朋友做个简介。二重积分的计算可以变成二次积分来积分,即先把y看成已知量,对x进行定积分运算,计算完后就把y当成变量,进行关于y的定积分运算。一重积分(就是我们平常接触的定积分)运算的积分区域是一条线(例如$\int_a^b f(x)dx$的积分区域是x轴上从a到b的一条线段),而二重积分的积分区域是一个平面,因此二重积分会比定积分复杂很多。例如在“先把y看成已知量,对x进行定积分运算”这一步时,要写出积分区域中x关于y的表达式,即定积分上下区间的差表示的是x关于y的表达式。

二重积分W可以直接进行计算,但是为了化简,我希望能够通过极坐标来进行变换:
$W=\int\int r^2 dr d\theta$

看起来是否简单多了?我们把$\theta$看成已知的,对r进行定积分。可是这里的积分区间怎么写呢?在图上可以看出在右下方的直角三角形区域,有$r=\frac{a}{cos\theta}$(即矩形最右的那条边的方程),于是积分区间可以写成$[0,\frac{a}{cos\theta}]$,即

$W_1=\int(\int_0^{a//cos\theta} r^2 dr)d\theta=\int(1/3 r^3|_0^{a//cos\theta})d\theta=\int\frac{a^3}{cos^3\theta} d\theta$

根据这里,我们有

$W_1=\frac{a^3}{4}(\frac{2sin \theta}{cos^2 \theta}+ln|\frac{1+sin \theta}{1-sin \theta}|)$
其中$\theta=arctg(b/a)$。

可是这只是一半。左上方的一边积分等于:
$W_2=\int(\int_0^{b//cos\theta} r^2 dr)d\theta=\int(1/3 r^3|_0^{b//cos\theta})d\theta=\int\frac{b^3}{cos^3\theta} d\theta$
$=\frac{b^3}{4}(\frac{2sin \theta}{cos^2 \theta}+ln|\frac{1+sin \theta}{1-sin \theta}|)$
其中$\theta=arctg(a/b)$

其结果是不是已经让我们有点头晕了?是的,BoJone也头晕了,但是还是坚持下去吧。W可以写成:
$\frac{a^3}{4}(\frac{2b\sqrt{a^2+b^2}}{a^2}+2ln|\frac{\sqrt{a^2+b^2}+b}{a}|)+\frac{b^3}{4}(\frac{2a\sqrt{a^2+b^2}}{b^2}+2ln|\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{b}|)$
$=ab\sqrt{a^2+b^2}+1/2 a^3 ln|\frac{\sqrt{a^2+b^2}+b}{a}|+1/2 b^3 ln|\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{b}|$

算是算出来了,但是如此繁琐的式子令我们不禁望而却步,这就要求我们另辟蹊径.....(待续)


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