昨天在研究一个最优化问题时,遇到了一个这样的积分:
$\int \frac{1}{cos^3 \theta} d\theta$

然后就顺便研究了一下这种类型的函数的积分。一般来讲,这类积分可以写成$\int cos^n \theta d\theta$或$\int sin^n \theta d\theta$,其中n是一个整数。

首先我们来解决n=1的情况,我们很容易就有$\int cos\theta d\theta=sin\theta +C$或$\int sin\theta d\theta=-cos\theta +C$,这是一个基本的结果。

如果n是大于1的正整数,那么可以用递推的方法来搞定:
$\int cos^n \theta d\theta=\int cos^{n-1} \theta d(sin\theta)=cos^{n-1} \theta sin\theta-\int sin\theta d(cos^{n-1}\theta)$
$=cos^{n-1} \theta sin\theta+(n-1)\int sin^2\theta cos^{n-2}\theta d\theta$
$=cos^{n-1} \theta sin\theta+(n-1)\int (1-cos^2\theta) cos^{n-2}\theta d\theta$
$=cos^{n-1} \theta sin\theta+(n-1)\int cos^{n-2}\theta d\theta-(n-1)\int cos^n\theta d\theta$
(这里运用了分部积分法)

即$n\int cos^n \theta d\theta=cos^{n-1} \theta sin\theta+(n-1)\int cos^{n-2}\theta d\theta$
$\int cos^n \theta d\theta=\frac{1}{n}[cos^{n-1} \theta sin\theta+(n-1)\int cos^{n-2}\theta d\theta]$
这样就完成了递推。关于正弦也有类似公式,这里直接写出:
$\int sin^n \theta d\theta=\frac{1}{n}[-sin^{n-1} \theta cos\theta+(n-1)\int sin^{n-2}\theta d\theta]$

不过,我昨晚想到将其变为多项式积分来算:
$\int cos^n \theta d\theta=\int cos^{n-1} \theta d(sin\theta)$
如果令$sin\theta=x$,则积分成了
$\int (1-x^2)^{\frac{n-1}{2}} dx$

要是n是奇数(正或负都行)的话,这个积分是相当好办的。要是它是偶数或其它有理数的话,就需要用到超几何函数(Hypergeometric Function)来表达。这里只对n是奇数进行讨论。

当n是正数时,直接多项式展开进行积分,不再讨论。当n是负数时,相当于讨论积分
$\int \frac{1}{(1-x^2)^k} dx$
其中k是正整数。当k=1时,有
$\int \frac{1}{1-x^2} dx=\frac{1}{2} ln|\frac{1+x}{1-x}|$

当k > 1时,我们即$\int \frac{1}{(1-x^2)^k} dx=I_k$,有
$I_k=\int \frac{1-x^2+x^2}{(1-x^2)^k} dx=I_{k-1}+\int \frac{x^2}{(1-x^2)^k} dx$
$=I_{k-1}-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(1-x^2)^k} d(1-x^2)$
$=I_{k-1}+\frac{1}{2(k-1)}\int x d[(1-x^2)^{1-k}]$
$=I_{k-1}+\frac{1}{2(k-1)}[x (1-x^2)^{1-k}-\int (1-x^2)^{1-k}dx]$
$=(\frac{2k-3}{2k-2})I_{k-1}+\frac{x}{2(k-1)(1-x^2)^{k-1}}$
递归完毕。

这里直接写出我可能用到的结果:
$\int \frac{1}{cos^3 \theta} d\theta=\frac{1}{4}(\frac{2sin \theta}{cos^2 \theta}+ln|\frac{1+sin \theta}{1-sin \theta}|)$
$\int \frac{1}{sin^3 \theta} d\theta=-\frac{1}{4}(\frac{2cos \theta}{sin^2 \theta}+ln|\frac{1+cos \theta}{1-cos \theta}|)$


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