在数学竞赛中,很多题目都专门设置了一种技巧,这种技巧在很大程度上是不怎么理所当然的,换句话说,难以“顺理成章”地想下去,或者是说方法不成系统的,这也是我有点不喜欢数学竞赛题目的一个原因。当然,另一方面,个人认为数学竞赛比物理竞赛更能锻炼一个人的思维能力,尤其是在抽象思维以及几何想象能力等,因此做一些这样的题目也会有好处的。

下面就是一道很经典的竞赛题,它是在韩国举行的第42届IMO中的题目:

设a,b,c都是正实数,求证:
$\frac{a}{sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{sqrt{b^2+8ac}} + \frac{c}{sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$

这道题我看到过几个不同证明,在《国际数学奥林匹克》376页中就给出了两个不同的证明,其中一个证明如下:
经典不等式-证明.jpg

另外一个证明思路虽然不同,但是我感觉还是难以思考得到。昨天在浏览数联天地时,发现了一个绝妙的证明,很符合常规的思路。它利用的主要工具是Jensen不等式

若函数f(x)在一个区间内满足$f(a_1 x_1+a_2 x_2) \geq a_1 f(x_1)+a_2 f(x_2)$,则称其为上凸函数,简称凸函数,其中$a_1,a_2$非负且$a_1+a_2=1$。判断函数的凸性还可以通过二阶导数来判断,若在区间内$f''(x) < 0$,则该函数在该区间为上凸函数。(将不等号方向改变,则函数称为下凸函数,或称凹函数)

Jensen不等式其实将上述关系推广了,即若函数对任意非负的$a_1+a_2=1$满足$f(a_1 x_1+a_2 x_2) \geq a_1 f(x_1)+a_2 f(x_2)$,则对于任意的满足$a_1+a_2+...+a_n=1$的非负数$a_1,a_2,...,a_n$,都有
$f(a_1 x_1+a_2 x_2+...+a_n x_n) \geq a_1 f(x_1)+a_2 f(x_2)+...+a_n f(x_n)$

这是一条强有力的不等式,几乎可以用它来推导所有的不等式,如平均不等式、柯西不等式等等。它的证明方法在此略过,最直接的方法是用泰勒级数展开,具体可以参考网络资料。现在回到本文章所讲的题目。本题的证明涉及到几个证明不等式常用的方法。

首先是形式变换,然后是挖掘隐含条件

形式变换:
$\frac{1}{sqrt{1+\frac{8bc}{a^2}}}+ \frac{1}{sqrt{1+\frac{8ac}{b^2}}} + \frac{1}{sqrt{1+\frac{8ab}{c^2}}} \geq 1$

挖掘隐含条件:
令$\frac{bc}{a^2}=x,\frac{ac}{b^2}=y,\frac{ab}{c^2}=z$,则变为
$\frac{1}{sqrt{1+8x}}+ \frac{1}{sqrt{1+8y}} + \frac{1}{sqrt{1+8z}} \geq 1$

其中隐含条件是$xyz=1$

接着一部堪称妙绝!因为用Jensen不等式涉及到求和,而已知条件则是的形式,我们要将其变成和的形式,那么我们容易想到指数运算:令$x=e^u,y=e^v,z=e^w$,则已知条件变为$u+v+w$。题目变为
$\frac{1}{sqrt{1+8e^u}}+ \frac{1}{sqrt{1+8e^v}} + \frac{1}{sqrt{1+8e^w}} \geq 1$

这个变换的最绝之处在于它不仅仅进行了可行的变换,而且直接包含了题目本身就带有的限制:x,y,z都是正数!

接下来利用Jensen不等式就很简单了:
$\frac{1}{sqrt{1+8e^u}}+ \frac{1}{sqrt{1+8e^v}} + \frac{1}{sqrt{1+8e^w}} \geq \frac{3}{sqrt{1+8e^(\frac{u+v+w}{3})}} =1$
(这是一个凹函数)

本文原来提供的证明有缺陷,我们无法证明在整个R上$\frac{1}{sqrt{1+8e^x}}$都是凹函数。因此需要把证明改正:

同样是用Jensen不等式,但是对函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$使用,可以证明$f''(x) >0$对于所有正数x都成立,于是Jensen不等式可以使用(前提)。

我们不难得出:
$(\frac{a}{a+b+c})\frac{1}{sqrt{a^2+8bc}}+ (\frac{b}{a+b+c})\frac{1}{sqrt{b^2+8ac}} + (\frac{c}{a+b+c})\frac{1}{sqrt{c^2+8ab}} $
$\geq \frac{1}{\sqrt{(\frac{a}{a+b+c})(a^2+8bc)+(\frac{b}{a+b+c})(b^2+8ac)+(\frac{c}{a+b+c})(c^2+8ab)}}$
$=\sqrt{\frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3+24abc}}$

于是:
$\frac{a}{sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{sqrt{b^2+8ac}} + \frac{c}{sqrt{c^2+8ab}} \geq \sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}}$

下面只需要证明$(a+b+c)^3 \geq a^3+b^3+c^3+24abc$就行了,利用平均不等式很容易得出结果,不再详述。

以上证明来源于《美国奥数生》


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