这是一道来自“数联天地”的题目:

三边长均为整数的三角形,周长为1000,其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目,但实际上这是一道初等数论题,而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到,在这里和大家探讨一番。话说回来,其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的,在小学和初中,经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后,兴趣逐渐转向了实用性较强的数学,因而数论内容的水平不高,大家见笑了。

设三边为a,b,c,对应的角为A,B,C,并且设B=2A。根据已知条件,我们有a+b+c=1000

根据余弦定理,我们有$cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

根据正弦定理,我们有$\frac{a}{sin A}=\frac{b}{sin 2A}=\frac{b}{2sin A cos A}$

把cos A的表达式代入上式,得到:$a=\frac{b}{2(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})}$

即$\frac{c}{a}=1+(\frac{c}{b})^2-(\frac{a}{b})^2$

也许有的读者会困惑为什么要写成这个形式。其实BoJone是想到在研究问题时要尽可能把式子写简短,并且未知数尽可能地少。在上边的式子中,$\frac{c}{a}$可以写成$\frac{c//b}{a//b}$,只要令$\frac{a}{b}=m,\frac{c}{b}=n$就可以将上式变成只含有两个未知数的式子。即
$\frac{n}{m}=1+n^2-m^2$

物理的角度来讲,之所以会产生这种便捷,是因为改写后的$\frac{a}{b},\frac{c}{b}$都是“零量纲”的量。至于怎么能够很快地想到这个步骤,BoJone也无他法,只能说这需要一定的练习和直觉以及不断的尝试

上式可以继续变成$\frac{n-m}{m}=(n-m)(n+m)$。很容易检验$ n !=m$,那么就有$1=(n+m)m$,换回原来的未知数就是:$a^2+ac=b^2$。此时,最直接的方法就是用计算机编程枚举。当然在数学竞赛中不能这样做,或者有的读者是追求分析的过程,那么就值得把求解计算过程再探讨一番。

经过一系列的尝试后,我想到了以下比较容易计算的思路。在$a^2+ac=b^2$两边加上$(1/2 c)^2$,得到$(a+1/2 c)^2=b^2+(1/2 c)^2$

这变成了一个勾股数问题(当然我们不知道c是奇数还是偶数)。我们记得所有的勾股数都可以表示成$(x^2+y^2)^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2$,不妨先令$x^2+y^2=a+1/2 c,x^2-y^2=b,2xy=1/2c$

(这里有一个小小的问题需要思考:为什么不是$x^2-y^2=1/2 c,2xy=b$?)

根据$a+b+c=1000$,我们有$x^2+xy=500 => y=\frac{500-x^2}{x}$。

$x > y => x > \sqrt{250}=15.8...$
$y>0 => x < sqrt{500} =22.36...$

由于$x^2+xy=500$,因此x,y不可能都是“**.5”的形式,因此c必定为偶数。只需要把x的取值在16~22的整数检验一遍,就可以得出x=20,y=5。由此得到最终结果:
a=225,b=375,c=400


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