BoJone记得自己第一次接触三角函数大概是小学五、六年级的时候,那时候我拿来了表姐的初中数学书来看。看到三角函数一章后,饶有兴致,希望能够找到一个根据角度来求三角函数值的方法,可是书本上只是教我去用计算器算和查表,这让我这个爱好计算的孩子大失所望。这个问题直到高一才得以解决,原来这已经涉及到了微积分中的泰勒级数了...

我记得为了求任意角度的三角函数值,我曾经根据30°、45°和60°的正弦值拟合过一条近似公式出来:
$sin A \approx \sqrt{\frac{A}{60}-1/4}$

其中A以角度为单位,大致适用于25°~60°,精度好像有两位小数。当然,这个结果在今天看来是很粗糙的,但是这毕竟是我的“小学的作品”!在此留念一翻。

后来上了初中,了解到了一些高中的知识后,我就尝试求更多的角度的三角函数表达式。除了30°、45°和60°外,我们还有18°的三角函数表达式:

$sin 18^{\circ}=\frac{sqrt{5}-1}{4}$
$cos 18^{\circ}=\frac{\sqrt{2sqrt{5}+10}}{4}$

同时,根据$cos A$和$cos B$求$cos (A-B)$的方法:
$cos(A-B)=cosAcosB+\sqrt{(1-cos^2 A)(1-cos^2 B)}$

根据$cos A$求$cos \frac{A}{2}$的方法:
$cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{cos A+1}{2}}$

根据$cos A$求$cos \frac{A}{3}$的方法:
$cos A=4(cos\frac{A}{3})^3-3cos\frac{A}{3}$
$cos \frac{A}{3} = 1/2 ( -^3\sqrt{\sqrt{cos^2 A-1}-cos A} +^3\sqrt{\sqrt{cos^2 A-1}+cos A})$

于是我们可以写出:$cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}$

$cos 3^{\circ}=cos(18^{\circ}-15^{\circ})=$
$\frac{\sqrt{2\sqrt{15}+4\sqrt{5}+10\sqrt{3}+20}+\sqrt{2\sqrt{15}-4\sqrt{5}-6\sqrt{3}+12}}{8}$

于是就不难写出cos 1°了。当然现在看来,这个东西只能作为一种存在性证明,没有用多大的实用价值。


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