之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题,并且在那文章中向读者提出:在一个质点(地球)引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话,提出这个问题的时候,我还不懂怎么解答这个问题,不过现在会了,回头一看,已经几个月了,时间过得真快...

与之前的思路一样,我们依旧采用的是“平衡态公理”,即总势能最小。从天体力学中我们知道,任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题,我们可以把地球放到坐标原点位置,而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$,链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$

设悬链的线密度为1(无量纲处理,长度即质量)。那么悬链上的点(x,y)到(x+dx,y+dy)一小段的引力势能可以记为
$$dE=-GM\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

总势能显然是$$E=-GM\int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

选取适当的坐标对被积函数进行化简是很必要的,我们采取极坐标系:
$$\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{r^2 d\theta^2+dr^2}}{r}=\frac{\sqrt{r^2 \dot{\theta}^2+1}}{r}dr$$

其中$\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dr}$

于是$$E=-GM\int_{r_1}^{r_2} \frac{\sqrt{r^2 \dot{\theta}^2+1}}{r}dr=-GM\int_{r_1}^{r_2} F(\dot{\theta},r)dr$$

代入拉格朗日方程就得到(将r看成自变量,θ作为函数):
$$0=\frac{\partial F }{\partial \theta}=\frac{d}{dr}(\frac{\partial F }{\partial \dot{\theta}})=\frac{d}{dr}(\frac{r\dot{\theta}}{\sqrt{r^2 \dot{\theta}^2+1}})$$

于是积分得到$\frac{r\dot{\theta}}{\sqrt{r^2 \dot{\theta}^2+1}}=Const$

并且化简得到:$$r^2 \dot{\theta}^2=C_1^2 ( C_1 > 0 )$$

要求$C_1 > 0 $只是为了描述上的方便,即$\pm \dot{\theta}=\frac{C_1}{r} => C_2 \pm \theta=C_1 ln r$

我们约定,在$\theta=C_1 ln r-C_2 < 0$时,上面去负号,反之取正号,则可以写成:
$$C_2 + |\theta|=C_1 ln r$$

可以进一步化简成$r=Ae^{B|\theta|}$的形式。其形状如下图:

新悬链线.PNG


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