在网上查找到的,好像有三个不同的版本,全部摘录在此。

关于正17边形的尺规作图方法,请看:
http://kexue.fm/article.asp?id=104

本文章只是证明它的存在(就是求出$\cos ({2\pi}/{17})$)。

$$\cos \frac{2\pi}{17}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}$$

版本一(来自数学研发论坛):

设正17边形中心角为$\theta$,则$17\theta=2\pi$,即$16\theta=2\pi-\theta$
故$\sin 16\theta=-\sin \theta$,而
$\sin 16\theta=2\sin 8\theta \cos 8\theta=2^2\sin 4\theta \cos 4\theta \cos 8\theta$
$=2^4 \sin \theta \cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta$
因$\sin \theta\neq 0$,两边除之有:
$16\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta=-1$
又由$2\cos \theta \cos 2\theta=\cos \theta+\cos 3\theta$等,有
$2(\cos \theta+\cos 2\theta+...+\cos 8\theta)=-1$
注意到 $\cos 15\theta=\cos 2\theta,\cos 12\theta=\cos 5\theta$,令
$x=\cos \theta+\cos 2\theta+\cos 4\theta+\cos 8\theta$
$y=\cos 3\theta+\cos 5\theta+\cos 6\theta+\cos 7\theta$
有:
$x+y=-1/2$
又$xy=(\cos \theta+\cos 2\theta+\cos 4\theta+\cos 8\theta)(\cos 3\theta+\cos 5\theta+\cos 6\theta+\cos 7\theta)$
$=1/2(\cos 2\theta+\cos 4\theta+\cos 4\theta+\cos 6\theta+...+\cos \theta+\cos 15\theta)$
经计算知$xy=-1$
又有
$x=(-1+sqrt17)/4,y=(-1-sqrt17)/4$
其次再设:$x_1=\cos \theta+\cos 4\theta,x_2=\cos 2\theta+\cos 8\theta$
$y_1=\cos 3\theta+\cos 5\theta,y_2=\cos 6\theta+\cos 7\theta$
故有$x_1+x_2=(-1+sqrt17)/4$
$y_1+y_2=(-1-sqrt17)/4$
解之可有: (大家自己解解吧~~~~)
最后,由$\cos \theta+\cos 4\theta=x_1,\cos \theta\cos 4\theta=(y_1)/2$
可求$\cos \frac{2\pi}{17}$,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出

版本二(不知道来自哪个论坛了):



版本三(PDF文件,也来源于网络):
正十七边形作图的思路和方法介绍.zip


转载到请包括本文地址:http://kexue.fm/archives/133/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!