载入正题之前,不妨闲扯一下BoJone的家...

BoJone在一些文章中已经提到过,我是一个来自农村的孩子,目前我的家也在农村。虽然生活并不能说“贫困”,家中也添置了不少电器,不过一直没有购置的就是洗衣机和热水器。洗衣机嘛,我觉得衣服自己动手洗是很好的,至少不让自己偷懒。至于热水器,因为家在农村,所以能够比较方便地弄到一些柴草,而且稻谷收割完后的桔梗也可以当燃料用,平时烧菜一般都用烧柴草,因此热水器实在没有多大必要。(很遗憾,沼气池没有能够在这里普及起来,大家可不要责怪我排放温室气体哦...^_^)

烧柴草的炉灶.jpg

既然没有热水器,那只能人工烧水了。往往是烧好一大锅水,洗澡时盛一盆子,然后加水降温,接着就可以洗白白了。本文的问题正是来源于调水温。当水很热时,为了加快降温,我们往往“双管齐下”:一边向盆子注入冷水,一般从盆子放出热水。于是就有了一个问题:水的温度与时间成什么关系?

为了把该问题简化成一个物理模型,不放做以下假设:

一个容器装有质量为M0、温度为T0的水,现以v1kg/s的速度向容器注入温度为T1的水,并以v2kg/s的速度从容器中放出热水。假设在此过程中没有空气散失等热量损失,并且注水时的热平衡能够瞬时完成,且热平衡时只对容器中的水有效(也就是说注水时不会导致“放水管”中的水温度降低)。求容器中水温T与时间t的关系。(温度为开尔文单位)


设水的比热容为c,t时刻容器内的水量为M、温度为T,那么容器内的水的热能为
$E=MTc$
在经历了$\Delta t$时间后,水量变化为$\Delta M=(v_1-v_2)\Delta t$,热量的变化为
$\Delta E=v_1 T_1 c \Delta t-v_2 T c\Delta t$
水温的变化为$\Delta T=\frac{E+\Delta E}{(M+Delta M)c}-T$

将上式展开,并略去二阶项,得到$v_1 T \Delta t+M\Delta T=v_1 T_1 \Delta t$
取极限就有$\frac{dT}{dt}=\frac{v_1}{M}(T_1-T)$

我们不难得出水量的函数式为$M=M_0+(v_1-v_2)t$,代入就得
$\frac{dT}{dt}=v_1\frac{T_1-T}{M_0+(v_1-v_2)}$————(1)

方程(1)就是我们所需要解的微分方程。这道方程很简单,直接分离常数得
$\frac{dT}{T_1-T}=v_1\frac{dt}{M_0+(v_1-v_2)}$

当$v_1=v_2$时,右端变成了常数,有
$C-ln(T_1-T)=\frac{v_1}{M_0}t$

C是积分常数,根据初始条件$t=0,T=T_0$并化简得
$T=T_1+(T_0-T_1)exp(-\frac{v_1 t}{M_0})$————(2)

当$v_1 !=v_2$时,右端是一个一次函数,积分得
$C-ln(T_1-T)=\frac{v_1}{v_1-v_2}ln[M_0+(v_1-v_2)t]$

同样根据初始条件化简得(能否允许我将这部分的工作留给你去做?^_^)
$T=T_1+(T_0-T_1)[1+(\frac{v_1-v_2}{M_0})t]^{(\frac{v_1}{v_2-v_1})}$————(3)

可以发现,其实(2)和(3)是一样的,只不过(2)是(3)的一个极限罢了。

这两个解均满足:1)当$T_0=T_1$时,不降温;2)当$v_1=0$时,也不降温;3)当$t\to \infty$时,$T\to \T_1$(当然前提是$v_1 > v_2$)

以上就是BoJone对一个生活问题的简陋分析,模型很粗糙,欢迎指正。各位读者可以而且应当多运用自己所学知识去了解生活问题,在这个方面,我觉得应该要“厚积厚发,薄积薄发”,而不能“厚积薄发”,尽可能地运用自己所掌握的知识去研究。


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