形形色色的电容.jpg学到人教版高二物理选修3-2的同学们,眼前会出现许多新的名词,如楞次定律、自感(电感)、感抗、容抗等等。其中对于电感,在中文维基百科给予的解释为:当电流改变时,因电磁感应而产生抵抗电流改变的电动势(EMF,electromotive force)。电路中的任何电流,会产生磁场,磁场的磁通量又作用于电路上。依据楞次定律,此磁通会借由感应出的电压(反电动势)而倾向于抵抗电流的改变。磁通改变量对电流改变量的比值称为自感,自感通常也就直接称作是这个电路的电感

自感的计算公式为:$U=-L\frac{dI}{dt}$,U是自感电动势,I是电流,负号表示自感电动势反抗原来的电流。L是比例系数,就称为电感,对于同一个线圈来说,L是常数,单位是$V*t//A=\Omega *t$,同时也简记为$H$(亨利)。

感抗

简单介绍后,进入正题了。我们知道,自感线圈可以“通直流,阻交流”,而电容器相反,可以“通交流,阻直流”。其原理就不多说了,本文主要是证明其感抗和容抗的计算公式。先说感抗,由于交流电的电动势和电流在不断变化,而且周期很小,所以通常用一些“平均值”来进行相关计算,以代替不断变化的量,如有效电压(电流)就是在一个周期内的电压(电流)平方的平均值的平方根。感抗也由此而生,虽然自感线圈是“阻交流”的,但是在一个周期内不同时刻的“阻碍情况”一般不同,因此我们需要计算一个“平均的阻碍情况”,也就是说,把这个自感线圈接入交流电路,相当于在电路中接入了一个多大的电阻。

求一个函数的平均值一般有两种方法,一种是对自变量求平均,再代入函数式求值;一种是直接对函数值求平均。感抗和容抗使用的是前者的方法(在理解本文后,不妨思考一下为什么只能够选择前者而不选择后者),换言之,是$\bar{R}=\frac{\bar{U}}{\bar{I}}$而不是$\bar{R}=\bar{(\frac{U}{I})}$。

而且,设交流电周期为T,有
$\bar{U}=\int_0^T \frac{|U|dt}{T}=L\int_0^T \frac{|dI|}{T}$
$\bar{I}=\int_0^T \frac{|I| dt}{T}$

接着再设交流电为正弦式交流电,$I=I_m sin(2\pi f t)$,频率为$f=\frac{1}{T}$,代入上式计算,由于正弦函数的对称性,我们只需要考虑四分之一周期即可,这样就可以把绝对值符号干掉。即
$\bar{U}=L\int_0^{T//4} \frac{d(I_m sin(2\pi f t))}{T//4}=4I_m L f$
$\bar{I}=\int_0^{T//4} \frac{I_m sin(2\pi f t) dt}{T//4}=\frac{4I_m}{2\pi}$

于是感抗$X_L=\bar{R}=4I_m L f\div \frac{4I_m}{2\pi}=2\pi f L$

容抗

容抗和感抗的计算有相当多的相似之处。我们知道电容的定义是$C=\frac{Q}{U}$。C是常数,于是我们可以写出
$C=\frac{dQ}{dU}=\frac{dQ}{dt}\frac{dt}{dU}$

其中$\frac{dQ}{dt}$即是电流I,于是$I=C\frac{dU}{dt}$。这和自感的计算公式几乎是同出一辙!类似感抗的计算,很快可以写出
$\bar{I}=\int_0^T \frac{|I|dt}{T}=L\int_0^T \frac{|dU|}{T}$
$\bar{U}=\int_0^T \frac{|U| dt}{T}$

同样对正弦交流电考虑四分之一周期,则有(这里直接把结果贴出)
$\bar{I}=4CU_m f$
$\bar{U}=\frac{4U_m}{2\pi}$
容抗$X_C=\frac{\bar{U}}{\bar{I}}=\frac{1}{2\pi f C}$


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