通常来说,选取惯性系为参考系,列出的三体问题方程为
$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}$

历史上出现过很多不同形式的变换,使得三体问题的运动方程有了各样的形式,如Lagrange形式、Jacobi形式、Hamilton形式等。这些变换形式都各有特点,都能够在一定程度上化简三体问题。BoJone在研究摆弄等质量型三体问题的运动方程时,也发现了一种很有趣的变换,在此贴出与大家分享。

设$\vec{R}_1=\vec{r}_1-\vec{r}_2,\vec{R}_2=\vec{r}_2-\vec{r}_3,\vec{R}_3=\vec{r}_3-\vec{r}_1$,则三体问题的运动方程变为

$\ddot{\vec{r}}_1=-Gm_2\frac{\vec{R}_1}{R_1^3}+Gm_3\frac{\vec{R}_3}{R_1^3}$————(35)
$\ddot{\vec{r}}_2=-Gm_3\frac{\vec{R}_2}{R_2^3}+Gm_1\frac{\vec{R}_1}{R_1^3}$————(36)
$\ddot{\vec{r}}_3=-Gm_1\frac{\vec{R}_3}{R_3^3}+Gm_2\frac{\vec{R}_2}{R_2^3}$————(37)

其中$R_1,R_2,R_3$是对应向量的模。让(35)-(36)、(36)-(37)、(37)-(35)得

$\ddot{\vec{R}}_1=-G(m_1+m_2)\frac{\vec{R}_1}{R_1^3}+Gm_3(\frac{\vec{R}_3}{R_1^3}+\frac{\vec{R}_2}{R_2^3})$————(38)

$\ddot{\vec{R}}_2=-G(m_2+m_3)\frac{\vec{R}_2}{R_2^3}+Gm_1(\frac{\vec{R}_1}{R_1^3}+\frac{\vec{R}_3}{R_3^3})$————(39)

$\ddot{\vec{R}}_3=-G(m_1+m_3)\frac{\vec{R}_3}{R_3^3}+Gm_2(\frac{\vec{R}_1}{R_1^3}+\frac{\vec{R}_2}{R_2^3})$————(40)

很明显这就是“摄动形式”的三体运动方程。当然这还体现不出有什么“有趣的地方”,不过换到等质量质量的情况就不一样了。选取适当的单位使得$G,m_1,m_2,m_3=1$,让(38)-(39)、(39)-(40)、(40)-(38)得
$\ddot{\vec{R}}_1-\ddot{\vec{R}}_2=-\frac{3\vec{R}_1}{R_1^3}+\frac{3\vec{R}_2}{R_2^3}$————(41)
$\ddot{\vec{R}}_2-\ddot{\vec{R}}_3=-\frac{3\vec{R}_2}{R_2^3}+\frac{3\vec{R}_3}{R_3^3}$————(42)
$\ddot{\vec{R}}_3-\ddot{\vec{R}}_1=-\frac{3\vec{R}_3}{R_3^3}+\frac{3\vec{R}_1}{R_1^3}$————(43)

(41)~(43)具有高度的对称性!不过,化成这样的形式究竟是把问题化简了还是化繁了,BoJone不得而知,因为每个式子左端都出现了两个二阶导数项,从一般的解微分方程的思路来讲,这是化繁的。我只知道,这是一种相当有趣的形式,因为它去掉了分母分子中两个向量相减的项,而用一个新向量来表示。并在等质量型的情况下是如此对称,这至少给了我们一种“美感”。

这样变换以后,三体问题原有的十个积分都可以相应地变换过来。如动量守恒变为$\vec{R}_1+\vec{R}_2+\vec{R}_3=\vec{0}$等。还有动量矩积分和能量守恒都可以变换,有兴趣的读者不妨自己尝试下。

仅此记录!


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