假如没有自转,单凭物质之间的引力作用,天体应该都会呈现一个很完美(不是绝对完美)的球形。不过绝大多数的天体都存在着自转,因此他们的赤道半径都比极半径长。BoJone粗糙地考虑了一下在引力和惯性离心力的共同作用下,天体所呈现的形状,并与太阳系的一些天体进行对比,发现还是能够吻合到一定程度。现在此和大家分享,供读者参考。

地球扁率推导.PNG

以地球为例,假如没有自转,地球应该是一个球体。这里只在平面考虑,地球方程为$x^2+y^2=R^2$,R是地球半径,即极半径。由于发生了自转,赤道会相应地被“拉长”;越靠近赤道,“拉”得就越长。设地球均匀自转,角速度为$\omega$。没有转动时,地球表面上一点(x,y)(设质量为1)所受到的引力的水平分量为$\frac{GM}{R^2}*\frac{\sqrt{R^2-y^2}}{R}$(我们用含y而不是x的式子写出,因为x轴在旋转前后会变化,而y不变)。这里我们只需要考虑水平分量,因为向心力是水平方向的,大小为$\omega^2 \sqrt{R^2-y^2}$。向心力由引力的水平分量提供,即等价于减少了引力,即旋转后引力的水平分量为$\frac{GM}{R^2}*\frac{\sqrt{R^2-y^2}}{R}-\omega^2 \sqrt{R^2-y^2}$。

接着我们做一个比较主观性的假设:“拉长”的比例与引力的水平分量成反比(稍后我们将会发现这个假设相当正确)。于是我们得到原来的圆形的横坐标被拉长为原来的
$\frac{\frac{GM}{R^2}*\frac{\sqrt{R^2-y^2}}{R}}{\frac{GM}{R^2}*\frac{\sqrt{R^2-y^2}}{R}-\omega^2 \sqrt{R^2-y^2}}$
倍。这个结果恰好是一个常数,等于$\frac{1}{1-\frac{\omega^2 R^3}{GM}}$。即旋转后的图形变成了一个椭圆,其方程为$(1-\frac{\omega^2 R^3}{GM})^2 x^2+y^2=R^2$。作近似处理,$\frac{1}{1-\frac{\omega^2 R^3}{GM}}\approx 1+\frac{\omega^2 R^3}{GM}(|\frac{\omega^2 R^3}{GM}| < < 1)$,即水平方向的长度被拉长了$\frac{\omega^2 R^3}{GM}$。

我们用一些例子来检验一下。就地球来说,查维基可以得到赤道半径6,378km,两极半径6,356km,相差大约22km。用上式计算
$R*\frac{\omega^2 R^3}{GM}=R*\frac{(\omega R)^2}{v_1^2}=21.76km$

其中$v_1=7.9km//s$是第一宇宙速度,$R=6356km,\omega=\frac{2\pi}{86400s}$。可见,这是一个相当好的近似。为了证明这不是“纯属巧合”,我们再来用木星的数据进行检验。

木星是太阳系最大的一个行星,赤道半径71,492km,两极半径66,854km,相差4638km(差不多一个地球了,呵呵),自转一周只需要9.9小时。用上式计算
$R*\frac{\omega^2 R^3}{GM}=R*\frac{(\omega R)^2}{v_1^2}\approx 5100km$

虽然不是特别精确,不过BoJone认为吻合得还是相当不错了,毕竟这是一个如此粗糙的模型!最后我们得到了一个扁率因子$\frac{\omega^2 R^3}{GM}$!欢迎大家作进一步的修正!


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