通过上面众多的文字描述,也许你还不大了解这两个原理有何美妙之处,也或者你已经迫不及待地想去应用它们却不知思路。为了不至于让大家产生“审美疲劳”,接下来我们将试图利用这两个原理对费马点问题进行探讨,看看原理究竟是怎么发挥作用的。运用的关键在于:如何通过适当的变换将其与光学或势能联系起来。

费马点问题.PNG

传统费马点问题是指在ΔABC中寻找点P,使得$AP+BP+CP$最小的问题;而广义的费马点则改成使$k_1 AP+k_2 BP+k_3 CP$最小。这是很具有现实意义的,是“在三个村庄之间建立一个中转站,如何才能使运送成为最低”之类的最优问题。我们将从光学和势能两个角度对这个问题进行探讨(也许有的读者已经阅读过了利用重力的原理来求解费马点,但是我想光学的方法依然会是你眼前一亮的。

一、“光解”费马点

我们发现广义费马点中所求的$kAP+mBP+nCP$与折射定律中$\frac{PO}{v_1}+\frac{QO}{v_2}$在形式上十分相似,于是我们想到可以应用折射定律。首先将其改成
$\frac{AP}{(1/{k_1})}+\frac{BP}{(1/{k_2})}+\frac{CP}{(1/{k_3})},v_1=1/{k_1},v_2=1/{k_2},v_3=1/{k_3}$

费马原理是关于两者和的极值,而费马点是三项的。为了能够应用费马原理,我们需要先“定”一个长度。如下图:

“光解”费马点.PNG

假定已经给出BP长度,那么我们以它为半径作圆弧,并假设圆弧就是一面特别的反射镜(经它反射后光速会变)。于是我们的问题就变成了:从圆弧上找出P点,使得$k_1 AP+k_3 CP$最短。

根据费马原理,我们要选择光路。这个光路就是我们在前边“费马原理”一小节中所得到的“折反射定律”推论,即令
$\frac{sin \theta_1}{v_1}=\frac{sin\theta_2}{v_3}=>k_1 sin\theta_1=k_3 sin\theta_2$

同样可以将BP换成AP、CP进行如上设置,即有
$k_3 sin\theta_3=k_2 sin\theta_4$
$k_2 sin\theta_5=k_1 sin\theta_6$

根据“对顶角相等”以及“相邻三个角之和为π ”,即得

$\frac{sin\theta_1}{k_3}=\frac{sin\theta_5}{k_1};\frac{sin\theta_3}{k_2}=\frac{sin\theta_1}{k_3};\frac{sin\theta_5}{k_1}=\frac{sin\theta_3}{k_2}$
$\theta_1+\theta_3+\theta_5=\pi$

可见,$\theta_1,\theta_3,\theta_5$正是以$k_3,k_2,k_1$为对边的三角形的三个内角。至此,BoJone认为问题已经解决。剩下的细节将留给各位思考(不应该将所有的奥妙都揭示出来,因为这样未免过于单调了)

二、“势解”费马点

设想将ΔABC水平放置,高度为h;将三条长度为l的绳子一端系在一起,另一端分别系一个重$k_1,k_2,k_3$的重物。如图,使他们必须分别穿过A、B、C三点。

“势解”费马点.PNG

在重力作用下,它们会趋于平衡状态,即势能最小,即要求$k_1 [h-(l-AP)]+k_2 [h-(l-BP)]+k_3 [h-(l-CP)]$最小(重力势能$E_p=Gh$,中括号内分别正是每个重物的高度),等价于$k_1 AP+k_2 BP+k_3 CP$最小。

由平衡态公理,稳定后三者受力平衡,即三条绳子的结点处合外力应该为0。于是我们得到了求解答案:它既可以写成我们在“光解”时的形式,也可以为了计算的方便写成:

$k_1^2+k_2^2+2k_1 k_2 cos\angle APB=k_3^2$(力的平行四边形法则)

其他两个类似,不再赘述。至此,两个角度,两种解法,一个问题,OK!

多谈一点:

不论是费马原理还是平衡态公理,都是物理的极值,读者需要运用你们的非凡想象力,将数学极值问题与其联系起来。当然,这个方法并不是万能的,因为它们本来就不是为数学研究准备的。我们研究它们,是为了领略科学之美,方便我们的计算和解答,并企图做出一些新的发现。而系统化、精细化的工作,并不是我们的任务(当然,有兴趣的朋友也可以去完成)

附上一道比较有趣的题目,读者可以运用这两个原理进行思考解答:

找出锐角三角形的内接三角形中周长最短者。

欢迎各位读者思考!


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