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光学定律无疑是一个美妙的原理,而自然界中还存在另外一个我们随处可见的“公理”。平时的生活中,我们总能看见“水往低处流”的现象,这是因为水处于地球重力场的结果(也正因为如此,某些轻生者的自杀活动才得以顺利进行;当然,我们并不需要为了验证这一点而亲自试验。)。由此我们可以联想到一个名词:重力势能。“水往低处流”意味着什么呢?高度变低了。高度更低意味着什么呢?重力势能降低了!换句话说,自然界中物体有趋于势能最低的倾向。我们可以从这个角度来解释:体系总有趋于稳定的倾向,而拥有的能量(势能)越高,则越不稳定。

如此说来,我们又得到了一个有明显实际意义的极值。可是,我们却不能发现究竟怎么将它变成可运算的。是的,我们还得配合一个“平衡态公理”才能架起“连接物理和数学的桥梁”:

当体系的总势能达到最低后,必定存在受力平衡(合外力为0)。


其实这是很明确的,要是合外力不为0,并定会有力驱使体系向能量更低的方向运动。不过,这个公理的逆命题不一定成立。当然,这并不影响我们应用它。


补充:

关于平衡态公理,我们貌似已经无法谈论更多的内容了,因为它实在是我们太熟悉的内容了。所以在这一段里,我们初步总结一下费马原理和平衡态公理:两者都是生活中常见现象的反映。从这两个原理出发,对某些问题进行解答,我们往往会为其简洁美妙程度所倾倒。有人会认为,这倒有点像“奥赛中的杂耍”了,其实不然,物理能够引导我们正确地进行思考,而数学则有助于我们对结论进行总结和分析。数学很科学,但真正神奇的是物理。物理科学一次又一次震撼了人类。上帝是一个艺术家,它创造的这个世界是如此的和谐。正如有一句话:Chemistry is physics without thought. Mathematics is physics without purpose.

这之后对于悬链线最速降线等问题的研究中(在后面我们将发现这类问题的本质是一样的),欧拉和拉格朗日发展出了一门称为“变分”的极具活力的数学分支。这既是出人意料,也是众望所归的。


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