物理学的美不仅仅表现在简洁的公式上。我们还惊奇地发现,很多物理现象都是按照使某个变量达到极值的方式发生。一个典型的例子就是费马原理,它指出了光的传播路径的一个重要规律:光总是沿着所花时间最短的路径传播。这里我们将简单介绍一下费马原理。

费马原理俗称“最快到达原理”、“最小时间原理”。1657年,费马提出:

从P点到达Q点,在所有可行的路径中,光选择了所需时间最短的一条。


从P点到达Q点,在所有可行的路径中,光选择了所需时间为极值的一条。


这是一个极其奇妙的原理,也是自然界中最神奇的极值之一。作为非生物的光,居然自主地选择了最优路径,成为世界上“效率最高”的东西,这让人不得不佩服宇宙的伟大。这究竟是造物者的精心设计,还是无心之作?

费马原理主要体现在:

1、光速是宇宙中最快的速度
2、光沿着直线传播(均匀介质)
3、光的反射定律
4、光的折射定律(Snell定律)


其中(1)是物理学上的内容,我们不去讨论它;而(2)和(3)则是我们相对熟悉的内容,即便是现在的初中生已经接触过了,因此也不再详细讨论,我们只稍微谈一下(4),并可以发现:(2)和(3)均是(4)的结论。

Snell定律.png如图,在直线inteface上有动点O,并有两定点P和Q,使$\frac{PO}{v_1}+\frac{QO}{v_2}$最小的充要条件是$\frac{v_1}{sin\theta_1}=\frac{v_2}{sin\theta_2}$。

我们可以设$P=(x_1,y_1),Q=(x_2,y_2),O=(x,0)$,则
$t=\frac{\sqrt{(x_1-x)^2+y_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(x_2-x)^2+y_2^2}}{v_2}$
对其求导并令其为0得
$0=\frac{x-x_1}{v_1 \sqrt{(x_1-x)^2+y_1^2}}+\frac{x-x_2}{v_2 \sqrt{(x_2-x)^2+y_2^2}}$

$\frac{v_1}{sin\theta_1}=\frac{v_2}{sin\theta_2}$
证毕。

注意,在上述证明中,我们并没有谈到P,Q必须在inteface的两侧,因此,结论对于P,Q在同一侧也是成立的。也许下面的图可以帮助你更好的理解这一点(通过镜面对称的方式,变成光的折射问题,你是不是感觉这种方法有点熟悉呢?)
折射定律-推论.PNG

为了方便引用,我们姑且将P,Q在同一侧情况的Snell定律成为光的“折反射定律”吧。我们不难看到,光的直线传播和反射定律其实就是$v_1=v_2$时候的情况。要注意的是,虽然我们上面用到了“充要条件”这一名词,但那只是一个特殊的情况,在更多的情况里,费马原理只是一个“必要条件”。在这一篇文章里头,我们稍稍地对光的传播和光路最快做了一个论证,为接下来的应用奠好基础。不过,接着并非要马上谈到光学原理的应用,而是先把目光转移,集中到另外一个“自然极值”上边去,它和我们平时看到的很多现象有关...


转载到请包括本文地址:http://kexue.fm/archives/1068/

如果您觉得本文还不错,欢迎点击下面的按钮对博主进行打赏。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!