很多读者都知道，反射望远镜、射电望远镜、太阳能集热器等都有一个抛物状的面，它们都是利用了抛物面能将平行射入的光汇聚到一个点（焦点）上的性质。如果问为什么抛物面具有此性质，相信很多高中生都可以利用抛物线的相关知识来证明。但是，如果反过来问：为什么具有此性质的曲面是抛物面？相信会难倒一部分读者。我们来尝试寻找这一曲线（由于对称的原因，这个曲面可以看作由曲线旋转而成，因此我们可以研究曲线）。

世上最大单孔径射电望远镜

世上最大单孔径射电望远镜

反射示意图

反射示意图

作出如上图的反射示意图，构造一个单位常向量$\vec{C}$（方向固定，$|\vec{C}|=1$），以表示平衡射入的光的方向；并构造从聚光点出发的向量$\vec{r}$，以表示曲线的轨迹，且记$|\vec{r}|=r$。根据“反射角=入射角”，$\vec{r}$、$\vec{C}$与$d\vec{r}$的夹角应当相等。于是有

$\vec{C}\cdot d\vec{r}=\frac{\vec{r}\cdot d\vec{r}}{r}$（考虑等式两边的意义，并联系向量点积的定义和计算就可以推出）

我们有恒等式：$\vec{r}\cdot d\vec{r}=rdr$（注意dr是$d(|\vec{r}|)$而不是$|d\vec{r}|$），代入立马得到

$$\vec{C}\cdot d\vec{r}=dr$$

积分一次，得
$$\vec{C}\cdot \vec{r}=r+K$$

K是常数，如果换回直角坐标系或极坐标系，就可以发现上式是一道抛物线方程。于是问题得解。

在上述讨论中，我们只用到了寥寥几步，这充分体现了向量的巨大好处。BoJone一开始是直接用直角坐标系列方程$dy\sqrt{x^2+y^2}=xdx+ydy$，然后换元为极坐标，尤显麻烦。

此问题提出于一年前，源于爱因斯坦向青少年提出的十大思考问题之“不随太阳移动而移动的太阳炉”。BoJone于2010.11.03作出解答。此题可以说是BoJone列出的首道微分方程，在当时不要说解答了，就连列出这道方程也费了不少功夫。那时候刚刚接触微积分和微分方程，还没有系统地接触向量等知识，仅仅利用薄弱的解析几何知识及各种暴力方法，才列出了方程，最终通过老师来解。还有上篇所提到过的“追牛问题”，也是BoJone比较早接触的微分方程实题之一。对这类问题的初步接触，导致了我对深入研究数学的向往，推动了我去研究数学。

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苏剑林. (Nov. 07, 2010). 《为什么是抛物线？——聚光面研究 》[Blog post]. Retrieved from https://kexue.fm/archives/1055

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        title={为什么是抛物线？——聚光面研究},
        author={苏剑林},
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        month={Nov},
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