这个星期研究了两道微分方程问题:“导弹跟踪”以及“太阳炉”问题。从中我加深了对微分方程的理解,也熟悉了微分方程的相关运算。仅此记录,权当抛砖引玉。

一、微分方程的本质

很多读者都知道,自从牛顿和莱布尼兹发明微积分之后,微积分就迅速地渗透到了几乎所有的学科,后来发展出许多出色的分支,如变分、微分方程等。众所周知,微分方程是解决很多重要问题的工具。不知道各位读者对微分及微分方程的认识如何?其实对于常微分方程而言,它的本质和我们已经学习过的代数方程一样,只不过相互之间的对应运算关系除了常规的加减乘除幂等之外,还多了两个相互关系:微分和积分。例如对于一阶微分方程$\dot{y}=f(x,y)$,也许大家都认为它是一个二元方程,其实不然,这是一个“四个未知数、三道方程”所组成的方程组,我们可以将它写成

$dy=f(x,y)dx,y=\int dy,x=\int dx$

其中未知数分别是$x,y,dx,dy$,这里得注意一点:dx和dy虽然趋于零,但它们是一个变量而非定量(请查阅相关微积分严格分析的书籍)。也许你会奇怪我这样来描述究竟有什么好处?实际上,这样有助于我们降低对微分方程的神秘感(注意不是难度),同时在解微分方程组的时候有助于引导我们有方向地进行消元。了解此后,我们会有目的地使用通常的代数运算和微分来消去未知数,使其只剩下x和dx(或y和dy)。

二、微分的计算

这个星期我探讨了$\frac{d^2 y}{dx^2}$和$\frac{d^2 x}{dy^2}$的关系。令$\frac{dy}{dx}=P$,则$\frac{d^2 x}{dy^2}=\frac{d(1/P)}{dy}=-\frac{dP}{P^2 dy}=-\frac{dP dx}{P^2 dx dy}$

其中$\frac{dP}{dx}=\frac{d^2 y}{dx^2}$,所以$\frac{d^2 x}{dy^2}=-\frac{\frac{d^2 y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3}$。化简后发现

$\frac{dy}{dx}=-\frac{d^2 y}{d^2 x}$

也许读者觉得这个结论很不错,把高阶微分和一阶微分联系起来了。然而,虽然这个结论并没有错误,但它却是不严谨、甚至没有意义的。因为对于微分,我忽略了一个重要的问题:一般而言,$\frac{d^2 y}{dx^2}$中的$d^2 y$并不等于$\frac{d^2 y}{dt^2}$中的$d^2 y$。也就是说,即使对于同一个函数式,其二阶微分是不定的,要视自变量而定。那么上式的写法还有什么意义呢?

———————————BoJone于2010.11.03


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