为何正17边形能够用尺规作出来?要如何作?先别急,请看下面的解释:

一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是,该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说,只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来,其它的正质数多边形就不可以了。(除非我们再发现另一个费马质数。)

正17边形的尺规作法是高斯在1796年得出的,他也因此决心要成为数学家。关于费马质数,是指形如$2^{2^n}+1$的质数,一开始费马认为对于所有的n,这种形式的数都是质数。可是这似乎是上天的玩笑,目前只发现了当n=0,1,2,3,4的时候$2^{2^n}+1$是质数,其余都是合数。

黎西罗给出了正257边形的尺规作法,写满了整整80页纸。盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法,此手稿整整装满了一只手提箱,现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。

要证明正17边形可用尺规作出,其实很简单,因为我们有
$cos\frac{2\pi}{17}=$
$\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}$

尺规作图必要和充分的条件是:所作长度能够从1出发,通过有限次的加、减、乘、除和开平方运算得出,这条长度就能够以尺规作图的形式作出来。而$cos\frac{2\pi}{17}$符合这个条件,因此正17边形可以用尺规作出来。(至于$cos\frac{2\pi}{17}$,是通过一系列的三角函数计算得出,读者不妨试试,我还没有找到详细过程)

说了这么多,要进入正题了,尺规作图的方法来了:

1、GIF版本(这个貌似太复杂了)

2、Flash (1)

3、Flash (2)


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